Exercícios Resolvidos de Oscilações Acopladas

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Enunciado

Através de uma força de 4,0   N , um oscilador harmônico amortecido é deslocado de 0,2   m da sua posição de equilíbrio. Em t = 0 ele é solto (do repouso) e começa a oscilar. O movimento é então registrado como mostrado no gráfico abaixo. Faça uma estimativa, mais precisa que você conseguir, dos valores do período e da massa.

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos aqui um oscilador harmônico amortecido, usando uma força

F = 4,0   N

foi causado um deslocamento de

Δ y = 0,2   m

Após esse deslocamento, soltamos o corpo para oscilar e começamos a contar o tempo, obtendo o gráfico da posição pelo tempo como

Será que essas informações são o suficiente para determinar a massa da partícula que está presa à mola e o período de oscilação? Nosso problema é regido pela equação diferencial

y ¨ ( t ) + γ y ˙ ( t ) + ω 0 2 y ( t ) = 0

Pelo gráfico podemos dizer que este é um amortecimento subcrítico! Vamos usar as definições de γ e ω 0 2 para determinar as grandezas desejadas! Saca só!

Passo 2

Temos as seguintes definições

γ = b m e ω 0 2 = k m

e, temos a seguinte relação entre as duas grandezas

ω = ω 0 2 - γ 2 / 4

A solução para o amortecimento subcrítico é tal que

y ( t ) = A e - γ 2 t c o s ( ω t + ϕ )

pelo gráfico temos que A = 0,2 e ϕ = 0 , portanto, obtemos que

y ( t ) = 0,2 e - γ 2 t c o s ( ω t )

Vamos analisar primeiramente a distensão inicial da mola!

Passo 3

Inicialmente, temos que

k   Δ x = F

de forma que

k = 4 0,2 = 20   N   m - 1

Essa era a informação mais simples de obter! Por isso fiz ela primeiro! Agora, temos uma segunda informação que pode ser obtida diretamente, mas para isso, vamos precisar analisar um pouco mais o sistema! Note que a amplitude máxima é sempre obtida quando

c o s ( ω t ) = 1

e, nestas situações, a atenuação da amplitude pode ser mensurada usando a relação

y ( t ) = 0,2 e - γ 2 t

Observando o gráfico, temos que para aproximadamente

t = 22   s

a amplitude é simplesmente

y ( t ) = 0,1

ou seja, metade da amplitude original, de forma que

0,5 = e - γ 2 ( 22 )

aplicando a exponencial de ambos os lados, temos que

γ = 0,06   s - 1

Vamos ver o que mais conseguimos dizer sobre este sistema!!

Passo 4

A frequência ω é aproximadamente o número de ciclos realizados por intervalo de tempo, vamos tentar avaliar essa quantidade! Se observarmos os gráficos podemos perceber que são realizados aproximadamente três ciclos a cada 9,5   s , ou seja, temos aproximadamente 3 intervalos entre picos em um Δ t = 9,5   s . Desta maneira, podemos garantir que a frequência é tal que

f ≈ 3 9,5 = 0,31 H z

de forma que a frequência angular é dada por

ω = 1,98   r a d / s

e o período, simplesmente

T ≈ 3,2   s

Usando ω , γ e k obtidos, temos que

ω = ω 0 2 - γ 2 / 4

nos leva à

ω 2 = k m - γ 2 4

ou simplesmente

m = k ( ω 2 + γ 2 4 ) - 1 = 5,1   k g

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

T ≈ 3,2   s e m = 5,1   k g

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