Exercícios Resolvidos de Oscilações Acopladas

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Enunciado

Dado um sistema de duas partículas de massa m ligados por três molas de constante elástica k e massa desprezível, como ilustrado abaixo:

O sistema possui dois modos normais de vibração, ω 1 =   ω 0 e ω 2 = 3 ω 0 , onde ω 0 =   k / m . Quando o sistema oscila com frequência ω 1 ou ω 2 , a frequência de oscilação do centro de massa é respectivamente

  1. ω 0 e ω 0
  2. ω 0 e 3 ω 0 2
  3. ω 0 e 2 3 ω 0
  4. ω 0 e 3 ω 0
  5. ω 0 e 0

Passo 1

Nessa questão, as frequências dos modos de vibração já foram dadas. Assim, você não precisa seguir todos aqueles passos pra encontra-las. Porém, o que o enunciado te pede é a frequência de vibração do centro de massa em cada caso.

Bom, pelo arranjo das massas, não podemos esperar muitas formas de movimentação delas.

No primeiro caso, em que o sistema vibra no primeiro harmônico, temos a seguinte configuração:

Isso para ω = ω 0 . Nesse caso, quando uma mola for comprimida por x   metros, a outra vai ser distendida por x metros.

Porém, como o módulo de x é o mesmo, já que as massas são as mesmas, a mola central não sofrerá nenhuma alteração:

x m o l a c e n t r a l = 0

Ou seja, enquanto uma mola é comprimida x metros da esquerda para a direita, a outra é estendida em x metros da esquerda para a direita. Isso não gera folgas e, portanto, a mola central não tem seu comprimento alterado.

Então ela se comportar como se fosse uma massa qualquer e vai oscilar com a mesma frequência que as molas: ω 0 .:

ω = ω 0

Passo 2

No segundo caso, o esquema fica assim:

Nesse caso, enquanto uma mola for comprimida, a outra também será comprimida. Enquanto uma for esticada, a outra também será esticada. Isso fará com que a mola do centro sofra alterações no seu comprimento.

Só que tem uma coisa: Estamos analisando o centro de massa, certo?

Pense então: Como as molas são iguais, o que uma sofrer de compressão a outra também sofrerá. Como as forças geradas serão iguais, o centro de massa da mola central não mudará de posição.

Isso pode ser visto calculando-se a somatória das forças sobre o centro de massa:

F r = F e l - F e l = k x - k x = 0

Por que as forças têm sentidos contrários. Assim, como o centro de massa não sofre nenhuma força resultante, a sua posição não muda e não oscila:

ω = 0

Resposta

e)

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