Exercícios Resolvidos de Oscilações Acopladas

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Enunciado

Considere um sistema formado por duas partículas idênticas de massa m ligadas por uma mola de massa desprezível e constante elástica k . Supondo que as partículas se movem em apenas uma direção e a única força atuante no sistema advém da mola, assinale a alternativa correta para a frequência angular ω 0 de oscilação.

  1. k 2 m
  2. k m
  3. 1 2 k m
  4. 2 k m
  5. 2 2 k m

Passo 1

Bom, nessa questão temos um caso de uma oscilação acoplada usando apenas uma mola. Além disso, nas extremidades da mola temos massas iguais.

Qual a primeira conclusão que podemos tirar disso? Simetria! Já que temos uma mola e duas massas iguais, podemos esperar que o que gera o movimento de uma massa gera o da outra.

Assim, podemos esperar deslocamentos iguais das massas:

Passo 2

Além disso, quais deverão ser os sentidos dos deslocamentos? Os deslocamentos não podem ter o mesmo sentido.

Qual o motivo disso? Porque o centro de massa precisa ter aceleração nula, logo, o somatório de forças agindo nele deve ser nulo. Isso ocorre porque não temos nenhuma força externa atuando no sistema. Assim, devemos esperar o seguinte sistema de forças:

Ou:

Pra que isso ocorra, quando uma massinha andar + x a outra deve andar - x , no sentido contrário. Os deslocamentos são os mesmos em módulo para que as forças sejam iguais. Temos um caso simétrico.

Passo 3

Mas pera ai, se uma massinha anda + x pra um lado e - x pro outro, qual a distorção total da mola?

Bom, vai ser a soma dos módulos desses deslocamentos, ou:

x t o t a l = x - - x = 2 x

Assim, podemos dizer que a força elástica que age em cada massinha é do tipo:

F → = - k 2 x = - 2 k x

Passo 4

Beleza, então podemos dizer que, pra cada massinha:

m x ¨ = - 2 k x

m x ¨ = - 2 k x

Como as duas equações são iguais, não precisamos montar um sistema de EDO’s, calcular determinante, resolver a equação biquadrada, etc. Basta que a gente resolva uma delas, pois vai valer para as duas massas:

m x ¨ = - 2 k x

x ¨ + 2 k m x = 0

Lembrando da definição de frequência:

ω = 2 k m

Pronto!

Resposta

d)

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