Exercícios Resolvidos de Oscilações Acopladas

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Considere dois osciladores harmônicos idênticos com constantes de mola K e acoplados por uma mola muito fraca com constante κ   < <   K . A variação na frequência de vibração do modo antissimétrico com relação ao modo simétrico vale aproximadamente?

Dica: Usar a aproximação: 1 + x ≅ 1 + x 2 , quando x ≪ 1 .

Passo 1

O sistema pode ser representado pela figura abaixo:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Bom, o enunciado cita dois modos de vibração: o simétrico e o antissimétrico. Vamos seguir o passo a passo para achar as frequências dos modos de vibração.

Primeiro, vamos adotar deslocamentos positivos x 1 e x 2 para as massas:

Considerando que x 2 > x 1 , a mola central estará sendo esticada e o módulo da força elástica que a mesma gerará nas massas será:

F 2 = k x 2 - x 1

O sentido das forças em cada massa será:

Passo 3

Bora escrever as EDO’s agora, usando o sentido adotado para cada força:

Para a massa 1:

m x 1 ¨ = - K x 1 + k ( x 2 - x 1 )

Para a massa 2:

m x ¨ 2 = - K x 2 - k x 2 - x 1

Reescrevendo e isolando x 1   e   x 2 :

m x 1 ¨ + x 1 K + k - k x 2 = 0

m x ¨ 2 + x 2 K + k - k x 1 = 0

Passo 4

Usando as soluções padrões:

x 1 ( t ) = A 1 cos ⁡ ω t + φ

x 2 t = A 2 cos ⁡ ω t + φ

Substituindo e lembrando que:

x ¨ t = - ω 2 A c o s ω t + φ

Assim:

- ω 2 A 1 m c o s ω t + φ + A 1 c o s ω t + φ K + k - k A 2 c o s ω t + φ = 0

- ω 2 A 2 m c o s ω t + φ + A 2 c o s ω t + φ K + k - k A 1 c o s ω t + φ = 0

Cortando todos os cossenos:

- ω 2 A 1 m + A 1 K + k - k A 2 = 0

- ω 2 A 2 m + A 2 K + k - k A 1 = 0

Passo 5

Escrevendo o sistema na forma matricial:

- ω 2 m + ( K + k ) - k - k - ω 2 m + ( K + k ) ∙ A 1 A 2 = 0 0

Como não queremos a solução trivial   ( A 1 ,   A 2 = 0,0 ) , o determinante da matriz acima tem que ser nulo:

d e t - ω 2 m + K + k - k - k - ω 2 m + K + k = 0

- ω 2 m + K + k 2 - k 2 = 0

- ω 2 m + K + k 2 = k 2

- ω 2 m + K + k = ∓ k

Assim:

- ω 2 m + K + k = k → ω 1 = K m

E:

- ω 2 m + K + k = - k → - ω 2 m = - K - 2 k

ω 2 = K + 2 k m

A frequência do modo simétrico será a menor e a frequência do modo assimétrico é a maior:

ω s = K m

ω a = K + 2 k m

O modo assimétrico é aquele em que os corpos apresentam deslocamentos diferentes(como no caso abaixo, em que os deslocamentos têm sentidos diferentes):

E o simétrico, deslocamentos iguais:

Passo 6

Queremos saber a variação do modo antissimétrico em relação ao modo simétrico. Quer dizer que queremos calcular:

D = ω a - ω s ω s = ω a ω s - 1

Assim:

ω a ω s - 1 = K + 2 k m K m - 1

D = K + 2 k m K m - 1 = 1 + 2 k K - 1

Beleza? Como k ≪ K , k K ≪ 1 , assim, podemos usar a aproximação:

1 + x = 1 + 1 2 x

Usando:

x = 2 k K

Vamos ter:

1 + 2 k K = 1 + 1 2 . 2 k K = 1 + k K

Substituindo em D :

D ≅ 1 + k K - 1 ≅ k K

Resposta

k K

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