Exercícios Resolvidos de Oscilações Acopladas

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Enunciado

Dado um sistema de duas partículas de massa m ligados por três molas de constante elástica k e massa desprezível, como ilustrado abaixo:

O sistema possui dois modos normais de vibração, ω 1 =   ω 0 e ω 2 = 3 ω 0 , onde ω 0 =   k / m . Quando o sistema oscila com frequência ω 1 ou ω 2 , a frequência de oscilação do centro de massa é respectivamente

  1. ω 0 e ω 0
  2. ω 0 e 3 ω 0 2
  3. ω 0 e 2 3 ω 0
  4. ω 0 e 3 ω 0
  5. ω 0 e 0

Passo 1

Precisamos primeiramente os modos de vibração dessas massas e a partir disso calcular o deslocamento do centro de massa por meio de

x C M = m x 1 + m x 2 m + m = x 1 + x 2 2

Então vamos ver esses modos!

Passo 2

Primeiro vamos escrever a segunda lei de Newton para as duas massas

m x ¨ 1 = - k x 1 + k x 2 - x 1 m x ¨ 2 = - k x 2 - k x 2 - x 1

Onde x 1 e x 2 são os deslocamentos das massas 1 e 2 em relação às suas posições de equilíbrio (e não a posição em si, como a gente tá acostumado).

Cada uma dessas massas estará em um MHS, assim podemos escrever

x 1 = A 1 cos ⁡ ω t + ϕ

E calculando x ¨ 1

x ¨ 1 = - ω 2 A 1 cos ⁡ ω t + ϕ = - ω 2 x 1

E temos a mesma coisa para a massa 2

x 2 = A 2 cos ⁡ ω t + ϕ

x ¨ 2 = - ω 2 x 2

De forma que o nosso sistema de equações fica

- ω 2 m x 1 = - k x 1 + k x 2 - x 1 - ω 2 m x 2 = - k x 2 - k x 2 - x 1

E dando uma ajeitadinha

2 k - ω 2 m x 1 - k x 2 = 0 - k x 1 + 2 k - ω 2 m x 2 = 0

Que de forma matricial fica

2 k - ω 2 m - k - k 2 k - ω 2 m x 1 x 2 = 0 0

Normalmente a gente calcularia o determinante dessa matriz e acharia os autovalores e depois os autovetores, mas o enunciado já nos deu os autovalores! Agora então ficou chuchu beleza!

Passo 3

- ω 1 = ω 0

Se lembrarmos da teoria de OHS que ω 0 = k / m , então a gente fica com que

m ω 1 2 = m k m = k

Que na nossa matriz fica

2 k - k - k - k 2 k - k = k - k - k k = k 1 - 1 - 1 1

E na nossa equação matricial

k 1 - 1 - 1 1 x 1 x 2 = k ( x 1 - x 2 ) k ( x 2 - x 1 ) = 0 0 → x 1 - x 2 = 0 x 2 - x 1 = 0

De forma que a gente conclui que

x 2 = x 1

Ou seja, as duas massas se deslocam de forma igual, quando uma vai para direita a outra vai para direita também por exemplo.

O deslocamento do nosso centro de massa (lá do passo 1) é dado então por

x C M = x 1 + x 2 2 = 2 x 1 2 = x 1

Como a massa 1 oscila com frequência ω 0 então o centro de massa vai oscilar com frequência ω 0 também!

Passo 4

- ω 2 = 3 ω 0

Como ω 0 = k / m , então

m ω 2 2 = m 3 k m = 3 k

Que na nossa matriz fica

2 k - 3 k - k - k 2 k - 3 k = - k - k - k - k = k - 1 - 1 - 1 - 1

E na nossa equação matricial

k - 1 - 1 - 1 - 1 x 1 x 2 = k ( - x 1 - x 2 ) k ( - x 2 - x 1 ) = 0 0 → x 1 + x 2 = 0 x 2 + x 1 = 0

De forma que a gente conclui que

x 2 = - x 1

Ou seja, as duas massas se deslocam de forma oposta, quando uma vai para direita a outra vai para esquerda e vice-versa.

O deslocamento do nosso centro de massa (lá do passo 1) é dado então por

x C M = x 1 + x 2 2 = 0 2 = 0

Ou seja, o centro de massa ficará paradão! O que faz sentido já que as duas massas se deslocam em sentidos opostos! A sua frequência de oscilação será 0 .

Resposta

e)

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