Exercícios Resolvidos de Oscilações Acopladas

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Enunciado

Uma plataforma de massa m está presa a duas molas iguais e de constantes elásticas k numa superfície horizontal sem atrito. Um bloco de massa M = 4m é colocado sobre a plataforma com as molas nas condições relaxadas, como mostrado na figura. Em função de k, m e M, responda:

  1. Qual a frequência angular ω de oscilações dos blocos, quando estes são deslocados da posição de equilíbrio e liberados?
  2. Calcule a amplitude máxima A m a x de oscilação para que o bloco não deslize sobre a plataforma, sabendo que o coeficiente de atrito estático entre o bloco e a plataforma é μ E .
  3. Soltando o bloco+plataforma de uma posição A ( A   <   A m a x ) e com velocidade nula, determine a posição do sistema em função do tempo.

Passo 1

A) A figura a seguir mostra o diagrama de forças para o sistema de dois blocos quando este é deslocado de uma quantidade x ( t ) ao longo do eixo x com respeito àquela posição em que as molas estão relaxadas.

A força resultante sobre o sistema é então

F R = F 1 + F 2 = - k x - k x = - 2 k x

de modo que a aplicação da segunda lei de Newton leva à equação de MHS para x t

F R = - 2 k x = m x ˙ ˙

x ˙ ˙ + ω 2 x = 0

com a frequência angular natural de oscilação dada por

ω = 2 k M + m

Passo 2

B) O diagrama de forças para o corpo de massa m encontra-se a seguir:

Enquanto os corpos oscilam conjuntamente, não há movimento relativo entre os blocos e, portanto, a força de atrito é do tipo estática. Na iminência do movimento entre os blocos, a força de atrito estático tem magnitude máxima igual a μ E N = μ E M g , de forma que a aceleração deste bloco também tem magnitude máxima a max ⁡ = μ E g . A aceleração do bloco de massa m , também pode ser escrita em termos do MHS realizado pelo conjunto M +   m

a m t = x ˙ ˙ m t = d 2 d t 2 x + d = x ˙ ˙

onde   d é apenas uma distância constante entre, por exemplo, o CM do bloco de massa m e a extremidade de uma das molas. Do item anterior, a solução MHS para o movimento permite escrever

x t = A c o s ( ω t + ϕ )

x ˙ t = - ω A s e n ( ω t + ϕ )

x ˙ ˙ t = - ω 2 A c o s ( ω t + ϕ )

de modo que a magnitude máxima da aceleração do bloco é

a ( max ⁡ ) = ω 2 A

a max ⁡ = ω 2 A max ⁡ = μ E g

A max ⁡ = μ E g ω 2 = μ E M + m g 2 k

Passo 3

C) Da solução geral x ( t )   =   A c o s ( w t   + ϕ ) , aplicando as condições iniciais:

x 0 = A = A c o s ϕ e x ˙ 0 = 0 = - ω A s e n ϕ

Temos que ϕ = 0 , logo:

x t = A c o s ω t = A c o s 2 k M + m t

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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