Exercícios Resolvidos de Oscilações Acopladas

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Enunciado

Dois sistemas massa mola encontram-se acoplados como mostra a figura. Sendo ω 0 = k /   m e α   =   5 + 1 2 a chamada razão áurea, o sistema tem dois modos normais com frequências ω + e ω - tais que:

  1. ω 0 - ω - = [ ω + -   ω 0 ] - 1 = α ω 0
  2. ω 0 - ω - + [ ω + -   ω 0 ] - 1 = α
  3. ω 0 - ω -   /   [ ω 0 -   ω + ] - 1 = α
  4. ω 0 - ω -   x   [ ω 0 -   ω + ] = α ω 0 2
  5. ω 0 - ω - = [ ω 0 -   ω + ] = α ω 0

Observação: Existe um erro no enunciado: ω 0 ≠ k m . O correto é ω 0 = k m . Além disso, não encontramos uma resposta que esteja listada acima.

Passo 1

Primeiramente, vamos determinar as forças que agem em cada bolinha.

Para a nossa análise, vamos considerar que a bolinha mais próxima da parede tem um deslocamento x 1 , positivo, e a outra bolinha tem um deslocamento x 2 , também positivo:

Com isso, as forças que agem em cada bolinha são representadas abaixo:

Passo 2

Aplicando a segunda lei de Newton pra cada bolinha:

m x 1 ¨ = - k x 1 + k x 2 - x 1

m x 2 ¨ = - k x 2 - x 1

m x ¨ 1 + 2 k x 1 - k x 2 = 0

m x 2 ¨ + k x 2 - k x 1 = 0

E obtivemos o sistema de EDO’s acima. Beleza?

Passo 3

Agora vamos usar a dica do enunciado. Vamos supor que as soluções das equações sejam:

x 1 = A 1 e ω i t

x 2 = A 2 e ω i t

Substituindo nas equações:

Lembrando que:

e i ω t ' ' = i 2 ω 2 e i ω t = - ω 2 e i ω t

Assim:

- m ω 2 A 1 e i ω t + 2 k A 1 e i ω t - k A 2 e i ω t = 0

- m ω 2 A 2 e i ω t + k A 2 e i ω t - k A 1 e i ω t = 0

Isolando e i ω t nas duas equações:

- m ω 2 A 1 + 2 k A 1 - k A 2 e i ω t = 0

- m ω 2 A 2 + k A 2 - k A 1 e i ω t = 0

Como não estamos interessados na solução trivial( e i ω t = 0 ) devemos ter:

- m ω 2 A 1 + 2 k A 1 - k A 2 = 0

- m ω 2 A 2 + k A 2 - k A 1 = 0

Passo 4

Voltando ao sistema:

- m ω 2 A 1 + 2 k A 1 - k A 2 = 0

- m ω 2 A 2 + k A 2 - k A 1 = 0

Podemos escrevê-lo como o produto vetor matriz abaixo:

- m ω 2 + 2 k - k - k - m ω 2 + k ∙ A 1 A 2 = 0 0

Como não queremos uma solução trivial A 1 , A 2 = 0,0 , o determinante da matriz maior tem que ser nulo.

Assim:

d e t - m ω 2 + 2 k - k - k - m ω 2 + k = 0

- m ω 2 + 2 k - m ω 2 + k - k 2 = 0

m 2 ω 4 - 3 k m ω 2 + k 2 = 0

Passo 5

Agora devemos resolver a equação biquadrada acima. Lembra como faz? Só a gente considerar ω 2 = x e ω 4 = x 2 . Assim:

m 2 x 2 - 3 k m x + k 2 = 0

Calculando o ∆ :

∆ = b 2 - 4 a c = 9 k 2 m 2 - 4 k 2 m 2 = 5 k 2 m 2

Assim:

x = - b ∓ ∆ 2 a = 3 k m ∓ 5 k m 2 m 2

Isso tudo igual a:

ω 2 = 3 k m ∓ 5 k m 2 m 2 = 3 k ∓ 5 k 2 m = 3 ω 0 2 ∓ 5 ω 0 2 2 = ω 0 2 3 ∓ 5 2

NOTA: o enunciado está errado. Ele chama ω = k m , quando na verdade é ω 2 = k m .

ω 2 = ω 0 2 3 ∓ 5 2

Então as frequências dos modos normais são:

ω - = ω 0 3 - 5 2

ω + = ω 0 3 + 5 2

Observe que também teríamos as frequências:

ω - = - ω 0 3 - 5 2

E:

ω + = - ω 0 3 + 5 2

Já que se:

x 2 = a → x = - a   ,   x = + a

Porém, as frequências devem ser positivas, certo? Já que elas são dadas por:

ω = 2 π T

E :

T > 0

Sempre! Assim, devemos descartar essas opções negativas.

Passo 6

Com isso, não achamos uma resposta correspondente no gabarito. Acreditamos que existem erros no enunciado.

Resposta

Sem resposta no gabarito. Frequências dos modos normais achadas:

ω - = ω 0 3 - 5 2

ω + = ω 0 3 + 5 2

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