Um bloco de massa m 1 = 1 , 0 k g , que repousa sobre uma superfície horizontal lisa, é ligado a um bloco de massa m 2 = 3 , 0 k g por uma corda leve que passa por uma polia de massa desprezível, que pode girar sem atrito. O bloco de massa m 1 está ligado a uma mola de constante elástica k = 1 00 N / m que tem uma das extremidades fixa em uma parede vertical como mostra a figura. Se os blocos são liberados a partir do repouso com a mola na posição relaxada, calcule qual é a maior velocidade atingida pelos dois blocos. Dê sua resposta em metros por segundo.

Considere os blocos como partículas.

Máximos e Mínimos de uma função são caracterizados pelo fato de que a derivada da função se anula em tais pontos.

Adote para a aceleração da gravidade g = 10 m / s 2

a) 1,0

b) 1,5

c) 2,0

d) 2,5

e) 3,0

Passo 1

Bom galera, essa é uma questão que tem mola, altura, velocidade dos blocos... ou seja, a cara da questão de conservação de energia né...

Só que aqui eu quero encontrar a maior velocidade que esses blocos podem alcançar...

Repara que eu só tenho o instante inicial do movimento, que é quando os blocos estão em repouso, com a mola relaxada e o bloco m 2 está a uma certa altura H do solo.

E i = m 2 g H

Essa é a energia mecânica inicial e é essa energia que vai se conservar ao longo de todo o movimento desses blocos.

A energia mecânica para um instante qualquer do movimento desses blocos é calculada como a soma da cinética com as potenciais:

E = m 1 + m 2 v 2 2 + m 2 g h + k Δ x 2 2

Agora, vamos considerar que esses blocos se movimentaram uma distância l .

Repara que esse l vai ser a própria compressão da mola, pois ela estava relaxada no início.

Δ x = l

E que eu posso relacionar a altura final do bloco 2 com l e a altura inicial H

H = l + h

h = H - l

Substituindo na expressão de energia teremos:

E = m 1 + m 2 v 2 2 + m 2 g H - l + k l 2 2

Passo 2

Bom, agora como a energia se conserva, vamos igualar essa expressão da energia para um momento qualquer com a energia mecânica inicial.

m 2 g H = m 1 + m 2 v 2 2 + m 2 g H - l + k l 2 2

Resolvendo e substituindo os valores que temos, chegamos em:

3,0 10 H = 4,0 v 2 2 + 3,0 10 H - 3,0 10 l + 100 l 2 2

30 H = 2 v 2 + 30 H - 30 l + 50 l 2

0 = 2 v 2 - 30 l + 50 l 2

Agora, eu vou escrever essa equação deixando v em evidência, de forma que eu tenha v em função de l .

- 2 v 2 = - 30 l + 50 l 2

2 v 2 = 30 l - 50 l 2

v = 15 l - 25 l 2

Para encontrar o v m á x , eu vou derivar essa expressão e igualar a zero. Com isso vou encontrar l para o qual terei o v m á x .

d v d l = 0

Essa derivada vai ter uma regra da cadeia, por conta da raíz, então fique atento!

1 2 15 l - 25 l 2 15 - 50 l = 0

15 - 50 l = 0

50 l = 15

l = 15 50 = 3 10 m

Substituindo na velocidade, terei:

v = 15 3 10 - 25 9 100

v = 4,5 - 2,25

v = 2,25

v = 1,5 m / s

Essa é portanto a velocidade máxima alcançada.

Resposta

Letra b).

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