O sistema representado na figura abaixo pode ser usado para medir a aceleração do sistema. Um observador se movendo na plataforma mede o ângulo que o fio que suporta a bola de luz faz com a vertical. Não existe atrito em nenhum lugar. (a) Como θ está relacionado com a aceleração do sistema? (b) Se m 1 = 250   k g e m 2 = 1250   k g o que é θ ? (c) Se você pudesse alterar m 1 e   m 2 qual é o maior ângulo que você poderia obter? Explique como você deve ajustar m 1 e   m 2   para fazer isso.

Passo 1

Alôôô, é aqui que temos alunos aplicadíssimos e animados com essa questão??

Ebaa, é sim!! Vamos então…

Bom então temos nessa questão todo um sisteminha com dois pesos, uma polia, um fio e uma bolinha de luz. Todo esse experimento serve para medir a aceleração do sistema, uma vez que como todo o sistema está interligado todos os 3 objetos terão a mesma aceleração em módulo.

Sendo assim, temos a missão de primeiro encontrar a relação entre o ângulo do fio e a aceleração, em seguida temos que calcular esse ângulo de acordo com os valores de massa fornecidos e por fim, temos que relacionar o valor das massas com o ângulo em questão de modo que se obtenha o seu valor máximo.

Passo 2

Vamos começar analisando as forças na bola:

∑ F y = 0

Isso porque na vertical as forças que atuam sobre a bolinha se equilibram. Adotando -se o sentido positivo para cima temos,

F y - P = 0

F y =   P

T c o s θ =   m g     ( I )

Cuidado para não se confundir, aqui a componente vertical será a intensidade da força vezes o cosseno ( e não o seno como de costume)!

Já analisando as forças em relação ao eixo x:

∑ F x ≠ 0

Uma vez que o sistema possui aceleração, logo há uma força resultante atuando sobre a bolinha fazendo com que essa tenha uma angulação em relação a vertical.

F x =   F r

F x =   m a

T s e n θ =   m a   ( I I )

Dividindo ( I I ) por ( I ) :

T s e n θ T c o s ( θ = m a m g

t g ( θ ) = a g

Então, conseguimos obter uma relação entre o ângulo θ e a aceleração!!!

Passo 3

Analisando as forças para a plataforma:

∑ F x ≠ 0

Como a plataforma está apoiada em uma superfície não se tem forças na vertical que a fariam sair voando por exemplo hahaha sendo assim é importante dar atenção apenas para as forças na horizontal

F r =   m a

Logo,

T =   m 2 a

Agora analisando as forças no bloquinho suspenso:

∑ F y ≠ 0

Uma vez que o bloquinho pode se movimentar verticalmente!

P -   T =   m 1 a

Como a tendência do bloquinho é descer por isso que subtraio a tensão da força peso e não o contrário.

m 1 g -   T =   m 1 a

Substituindo T =   m 2 a :

m 1 g -   m 2 a =   m 1 a

m 1 g m 1 +   m 2 =   a

m 1 m 1 +   m 2 = a g

Além disso, descobrimos no passo anterior que t g ( θ ) = a g , substituindo esse resultado na equação encontramos que

t g ( θ ) =   m 1 m 1 +   m 2   ( I I I )

No item b, devemos encontrar o ângulo para as massas de m 1 = 250   k g e m 2 = 1250   k g . Como já descobrimos a equação que relaciona as massas com o ângulo basta substituirmos esses valores na equação ( I I I ) :

t g ( θ ) =   250   k g 250   k g +   1250   k g

t g θ = 1 6

E agora??? Como vamos achar o ângulo a partir da tangente???

Calma que eu te ajudo! Basta utilizarmos a função inversa da tangente que é o arco-tangente, utilizando essa função obtemos nosso ângulo bonitinho,

θ =   a r c t g ( 1 6 )

θ =   9,46 °

Passo 4

Agora tá faltando só a cereja do bolo para finalizarmos essa questão. Hummm

Qual o maior ângulo que poderíamos obter nessa questão??? Bom, encontramos o ângulo em função da tangente então o maior ângulo que poderíamos obter é quando a tangente é máxima, ou seja, t g 45 ° = 1 . Com essa constatação podemos inferir o que sobre as massas?

Caso a tangente seja máxima:

t g 45 ° = 1

Logo,

t g ( θ ) =   m 1 m 1 +   m 2

t g ( 45 ° ) =   m 1 m 1 +   m 2

1 =   m 1 m 1 +   m 2

m 1 = ( m 1 +   m 2 )

Para isso ser verdade a massa de m 1 teria que ser muitooooo maior que   m 2 :

m 1 ≫   m 2

Portanto, a condição para se obter um ângulo de inclinação máximo teríamos que ter um bloquinho muito mais pesado que a plataforma.

Além disso, o fato do ângulo ser máximo indica que

t g ( θ ) = a g

a g = 1

a =   g

Assim, teríamos que a tração seria zero e conclui-se que a bolinha estaria em repouso em relação a plataforma por não haver mais uma aceleração diferente da gravidade.

P -   T =   m 1 a

m g -   T =   m 1 a

T = 0 →   a   b o l i n h a   e s t a r i a   e m   r e p o u s o   e m   r e l a ç ã o   a   p l a t a f o r m a

Tudo tranquilo??? Deu medo no começo mas foi só sucesso depois hahaha :)

Bora terminar essa lista!

Resposta

  1. t g ( θ ) = a g
  2. θ =   9,46 °
  3. m 1 ≫   m 2 para se obter o ângulo máximo de 45 ° , e além disso a bolinha estaria em repouso em relação a plataforma.

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