Uma partícula de massa 4 K g e velocidade de 4   m / s é disparada contra um bloco de massa 2 K g como mostra a Fig.(3). O bloco se encontra em repouso na borda de um poste de altura de 1,4   m . Considerando que o coeficiente de restituição e = 0,3 , determine (a) as velocidades após a colisão (b) Determine a velocidade em que o bloco atinge o solo, desprezando a resistência do ar.

Passo 1

(a) Para determinar as velocidades após a colisão, podemos usar o princípio da conservação da quantidade de movimento na direção horizontal. Vamos chamar as velocidades após a colisão de v1 para a partícula e v2 para o bloco.

Antes da colisão, a quantidade de movimento horizontal é dada por:

m 1 * v 1 = 4   k g *   4   m / s (a velocidade inicial é positiva porque a partícula está se movendo para a direita).

Após a colisão, a quantidade de movimento horizontal ainda deve ser conservada:

m 1 * v 1 = 4   k g *   v 1 + 2 k g *   v 2

Agora, aplicamos o coeficiente de restituição e=0,3, que está relacionado à velocidade relativa das partículas após a colisão:

e =   v 2 - v 1 /   v 1 i - 0

Substituindo v1i =4m/s e resolvendo para v2-v1:

0,3 =   v 2 - v 1 / 4

  v 2 - v 1 = 1,2 m / s

Passo 2

Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:

4 v   1 ​   + 2 v   2 ​   = 16   ( c o n s e r v a ç ã o   d a   q u a n t i d a d e   d e   m o v i m e n t o

v   2 ​   − v   1 ​   = 1,2   ( r e l a ç ã o   d a d a   p e l o   c o e f i c i e n t e   d e   r e s t i t u i ç ã o )  

Podemos resolver esse sistema para encontrar v1 e v2.

Multiplicando a segunda equação por 4 e somando à primeira equação:

4 v   1 ​   + 2 v   2 ​   +   4 v 2 - 4 v 1 = 16 + 4,8

v   2 =   3,47   m / s ​  

Agora, podemos usar a segunda equação para encontrar v1:

v   2 ​   − v   1 ​   = 1,2

3,47 − v   1 ​   = 1,2

v   1 = 2,27   m / s

Portanto, após a colisão, a partícula tem uma velocidade de 2,27m/s para a direita, e o bloco tem uma velocidade de 3,47m/s para a direita.

Passo 3

Para determinar a velocidade com que o bloco atinge o solo, desprezando a resistência do ar, podemos usar a equação das leis do movimento uniformemente acelerado. Nesse caso, a única força atuando sobre o bloco é a gravidade, que gera uma aceleração constante.

A equação de movimento para queda livre, desprezando a resistência do ar, é dada por:

h = 1 / 2   g t ²

Agora, podemos resolver essa equação para encontrar o tempo t que o bloco leva para cair a partir da altura de 1,4 metros:

1,4 = 1 / 2   * 9,8 * t ²

t = 0,53   s

Agora, como mencionado anteriormente, a velocidade horizontal do bloco se conserva, então a velocidade horizontal final (vx ) é a mesma que tinha após a colisão, ou seja, 3,47m/s.

Agora, podemos calcular a velocidade total (v) com que o bloco atinge o solo usando o teorema de Pitágoras, considerando a componente horizontal (vx ) e a componente vertical (vy ) da velocidade:

v = ( v x ² + v y ² ) 1 / 2 = ( 3,47 ² + v y ² ) 1 / 2

Já sabemos que vy é a velocidade vertical, que podemos calcular usando a fórmula da velocidade final em queda livre:

v y = g t =   9,8 * 0,53 = 5,19   m / s

Agora, podemos calcular a velocidade total:

v = ( v x ² + v y ² ) 1 / 2 = ( 3,47 ² + 5,19 ² ) 1 / 2 = 6,28   m / s

Portanto, a velocidade total com que o bloco atinge o solo, desprezando a resistência do ar, é de aproximadamente 6,28m/s, considerando tanto a componente horizontal quanto a vertical da velocidade.

Resposta

  1. 2,27m/s para a direita, e o bloco tem uma velocidade de 3,47m/s para a direita.
  2. 6,28   m / s

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