Exercícios Resolvidos de Polias Simples

UFRJ-Física 1-P1 2015.1 D2

Uma cunha, formada pela junção de duas rampas inclinadas de ângulos α e β , está fixa ao solo. Os blocos de massas m 1 e m 2 estão ligados por um fio ideal que passa por uma polia ideal fixa no vértice da cunha. Os blocos estão inicialmente em repouso e cada um deles encontra-se em uma das rampas, como mostra a figura.

Desprezando o atrito entre os corpos e as superfícies das rampas

a) desenhe o diagrama de forças para cada um dos blocos, separadamente;

b) supondo que as massas sejam tais que o bloco de massa m 1 desça a rampa à esquerda, determine o módulo da aceleração a ;

c) obtenha a razão m 1 / m 2 para que o sistema permaneça em repouso;

d) de acordo com o item (c), qual o valor da tração no fio?

Passo 1

a)

As forças atuando nos blocos são as força peso P 1 e P 2 , as forças normais da superfície N 1 e N 2 e as força de tração dos fios T 1 e T 2 .

O diagrama do bloco de massa m 1 é:

E pro bloco de massa m 2 :

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b)

As forças resultantes atuando nos 2 blocos são:

F m 1 = P 1 + N 1 + T 1

F m 2 = P 2 + N 2 + T 2

Então, pela 2ª lei de Newton:

P 1 + N 1 + T 1 = m 1 a 1

P 2 + N 2 + T 2 = m 2 a 2

O problema é que, pros 2 blocos, a força peso não faz um ângulo maneiro com normal ou a tração!

Passo 3

Agora fatalmente vamos ter que decompor as forças peso dos 2 blocos, pra elas terem componentes paralelas e perpendiculares às forças normal e de tração. Saca só:

Passo 4

Aplicando uma trigonometria básica, obtemos:

Passo 5

Então o diagrama de forças nos blocos ficou:

Passo 6

Agora temos que fazer umas considerações importantes. Primeiro, podemos reparar que os fios e as roldanas são ideias, então as trações T 1 e T 2 tem mesmo módulo, que podemos chamar de T :

T 1 = T 2 = T

E não só isso! Pelo mesmo motivo, as acelerações dos blocos também tem o mesmo módulo a :

a 1 = a 2 = a

Excelente, né?

Passo 7

Pronto, agora podemos voltar a usar nossa querida 2ª lei de Newton.

Começando pelo bloco de massa m 1 :

Não há nenhum movimento no eixo perpendicular à cunha, as forças N 1 e p 1 cos α se cancelam. O movimento é todo no eixo paralelo à cunha, logo:

p 1 sen α + T 1 = m 1 a

Como o bloco está descendo, em módulo isso fica:

p 1 sen α - T = m 1 a

Passo 8

Agora vamos ao bloco de massa m 2 :

Pra ele também não há movimento no eixo perpendicular à cunha, pois N 2 e p 2 cos β   se cancelam. O movimento é só no eixo paralelo à cunha, então, pela 2ª lei de Newton:

p 2 sen β + T 2 = m 2 a

E como o bloco está subindo:

T - p 2 sen β = m 2 a

Passo 9

Então obtivemos um sistema:

p 1 sen α - T = m 1 a T - p 2 sen β = m 2 a

Vamos somar as 2 equações:

p 1 sen α - T + T - p 2 sen β = m 1 a + m 2 a

p 1 sen α - p 2 sen β = m 1 + m 2 a

Temos p 1 = m 1 g e p 2 = m 2 g , logo:

m 1 g sen α - m 2 g sen β = m 1 + m 2 a

a = m 1 g sen α - m 2 g sen β m 1 + m 2 = m 1 sen α - m 2 sen β m 1 + m 2 g

Passo 10

c)

Pra que o sistema fique em repouso, devemos ter

a = 0

m 1 sen α - m 2 sen β m 1 + m 2 g = 0

m 1 sen α - m 2 sen β = 0

m 1 sen α = m 2 sen β

Então a razão entre as massas é

m 1 m 2 = sen β sen α

Passo 11

d)

Vimos ali atrás que

p 1 sen α - T = m 1 a

Mas agora estamos considerando a = 0 , logo: T = p 1 sen α = m 1 g sen α

Podemos também expressar T em função de m 2 e sen β , o que dá

T = p 2 sen β = m 2 g sen β

Resposta

a)

b)

a = m 1 sen α - m 2 sen β m 1 + m 2 g

c)

m 1 m 2 = sen β sen α

d)

T = m 1 g sen α

ou

T = m 2 g sen β

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