Exercícios Resolvidos de Reflexão Total da Luz

Considere uma fibra óptica simples, retilínea, composta por um núcleo cilíndrico de índice de refração n 1 , envolvido por uma cascata cilíndrica de índice de refração n 2 < n 1 .

No ponto de entrada da fibra óptica há uma fonte pontual que emite luz em todas as direções, isotropicamente. Sabemos que parte da radiação que entra na fibra é perdida para o exterior.

Suponha que todo raio luminoso que atinge a interface entre os dois meios com ângulo de incidência menor do que o ângulo limite de reflexão total seja totalmente transmitido para o exterior.

Neste caso, se a potência luminosa que entra na fibra é P i n , podemos dizer que a potência perdida pela fibra para o exterior será:

A) n 2 n 1 P i n

B) 1 - n 2 n 1 P i n

C) 1 - n 1 n 2 P i n

D) n 1 n 2 P i n

E) n 2 n 1 2 P i n

F) n 1 n 2 2 P i n

Passo 1

Esse problema na verdade são dois problemas em um. Vamos primeiro tentar separar os dois, e ver qual o papel de cada um deles nessa história.

Na imagem acima, a semicircunferência amarela representa a luz que sai da fonte isotrópica. Quando uma fonte é isotrópica, ela emite luz para todas as direções, formando uma esfera luminosa ao seu redor, na qual a potência da luz vai se espalhando.

Os raios de luz incidem na interface entre as duas camadas da fibra óptica com diferentes ângulos, parte fica presa no núcleo central e parte sai desse núcleo. Isso depende do ângulo crítico entre as duas camadas.

Toda a luz que entra na camada externa da fibra óptica nós consideramos como uma potência luminosa perdida. Com isso, nossas etapas são as seguintes:

  • Encontrar o ângulo crítico entre as duas camadas da fibra óptica, para saber quais raios entram e quais raios saem do seu núcleo. (Achar ângulo crítico)
  • Sabendo o ângulo que os raios precisam fazer para se manter no núcleo, queremos ver a parte corresponde da esfera na qual se espalha nossa potência. (Variação da intensidade com a área)
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Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o ângulo crítico. Para isso, fazemos como se o ângulo de refração fosse igual a 90 ° na lei de Snell, o que nos dá:

n 1 sen ⁡ α c r í t i c o = n 2 sen ⁡ 90 ° = n 2

sen ⁡ α c r í t i c o = n 2 n 1

Temos o ângulo a partir do seno dele. (Veremos mais tarde que não precisamos do ângulo em si, e sim do seno). Agora respire fundo, descansa um pouco, e se prepara pro próximo passo que é chato.

Passo 3

Agora, vamos buscar a área correspondente à potência perdida. Pela imagem lá de cima, podemos relacionar o ângulo que cada raio faz com o centro da fibra óptica com o ângulo de incidência:

α + γ = 90 °

Quando α aumenta, γ diminui, e a luz começa a ser perdida. É mais fácil calcular a área da potência não perdida, que corresponde a α ≥ α c r í t i c o ou γ ≤ 90 ° - α c r í t i c o que é a calota:

A área da calota é dada pela seguinte fórmula:

A c a l o t a = 2 π r 2 ( 1 - cos ⁡ γ )

Ela pode ser encontrada integrando elementos de área de uma esfera.

O elemento de área vai ser:

d A = r 2 sen ⁡ θ d θ d φ

Iremos integrar de θ = 0 até θ 0 e de ϕ = 0 até 2 π (calota no topo da circunferência).

A c a l o t a = ∫ φ = 0 2 π ∫ θ = 0 θ 0 r 2 sen ⁡ θ d θ d φ = 2 π r 2 ∫ θ = 0 θ 0 sen ⁡ θ d θ = 2 π r 2 ∙ [ - cos ⁡ θ ] 0 θ 0

A c a l o t a = 2 π r 2 ∙ 1 - cos ⁡ θ 0

Para traduzir pro nosso problema, giramos a calota.

Assim, onde era θ , no nosso problema vira γ e chegamos em A c a l o t a = 2 π r 2 ( 1 - cos ⁡ γ ) . Podemos traduzir direto pra α , pois:

cos ⁡ γ = cos ⁡ 90 ° - α = sen ⁡ α

A c a l o t a = 2 π r 2 ∙ [ 1 - sen ⁡ α ]

(ufa, foi muito trabalhoso isso! Vou até pedir uns 2 dias de férias no responde aí...)

Passo 4

Depois disso tudo pra achar a área, o problema volta a ser só de física (finalmente...).

A potência da luz é dada por:

P o t = ∮ S → ∙ d A �� = S m é d ∙ Á r e a

Onde S m é d é a intensidade luminosa I . Assim, a potência incidente total vai ser igual a:

P i n = I ∙ A s e m i - e s f e r a = I ∙ 4 π r 2 2 = 2 π r 2 ∙ I

Onde I é a intensidade da luz. A potência correspondente a luz que se mantém na fibra óptica, pela nossa discussão anterior, corresponde a área da calota:

P f i b r a = I ∙ A c a l o t a = 2 π r 2 1 - sen ⁡ α c r í t i c o ∙ I

Assim, a fração da potência que se mantém na fibra ��ptica vai ser:

P f i b r a P i n = 1 - sen ⁡ α c r í t i c o

Considerando que toda a potência que entra ou fica na fibra ou é perdida pela saída de luz do núcleo, a fração que vai sair da fibra então vai ser:

1 - P f i b r a P i n = 1 - 1 - sen ⁡ α c r í t i c o = sen ⁡ α c r í t i c o

A potência perdida é:

P p e r d i d a = sen ⁡ α c r í t i c o ∙ P i n = n 2 n 1 P i n

Obs:

A altura da calota sendo h , uma outra fórmula pra área da calota é:

A c a l o t a = 2 π r h

Que é equivalente à nossa, pois h = r 1 - cos ⁡ θ 0 , onde r cos ⁡ θ 0 é a distância do centro da circunferência até a “base” da calota.

Resposta

P p e r d i d a = n 2 n 1 P i n

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