Exercícios Resolvidos de Reflexão Total da Luz

Origem do Exercício

Um feixe de luz propagando-se no ar ( n a r = 1 ) incide em uma face horizontal de um paralelepípedo, fazendo um ângulo i com a normal, conforme indica a figura abaixo.

Sendo o índice de refração do paralelepípedo n p a r = 2 / 3 , para quais valores de i o feixe sofrerá reflexão total na face vertical?

  1. i ≥ 60 °
  2. i ≤ 60 °
  3. i ≥ arcsen ⁡ 1 / 3
  4. i ≤ arcsen ⁡ 1 / 3
  5. Nunca haverá reflexão total

Passo 1

Ao se deparar com um problema novo, devemos sempre tentar entende-lo. Como ele pensa? Do que se alimenta? Onde vive? Ok, perdi o ponto aqui.

Primeiro, vamos observar a geometria do problema. Um raio luminoso incide na face superior do paralelepípedo com ângulo de incidência i . Ele então sofre um desvio (ângulo de refração r ) e incide na face lateral com um certo ângulo θ . Se θ for muito grande, haverá reflexão total. Caso contrário, não haverá.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Podemos relacionar r e θ pois eles são os ângulos de um triângulo retângulo (dado pelo raio dentro do paralelepípedo e as normais de ambas as faces), e logo:

r + θ = 90 °

Sendo que r nós podemos encontrar pela lei de snell a partir do ângulo de incidência.

sen ⁡ i = n ⋅ sin ⁡ r

Além disso, o ângulo limite para que o raio sofra reflexão total na face lateral é:

n ⋅ sen ⁡ θ = sen ⁡ 90 ° = 1

sen ⁡ θ = 1 n

Passo 3

Da discussão anterior, temos que:

sen ⁡ i = n ⋅ sin ⁡ r

Podemos inverter essa equação usando a função inversa do seno, chamada “arcoseno”.

i = arcsen ⁡ n ⋅ sen ⁡ r = arcsen ⁡ n ⋅ sen ⁡ 90 ° - θ = arcsen ⁡ n ⋅ cos ⁡ θ

Para achar o ângulo incidente limite, substituímos o θ limite. Porém, só temos o seu seno. Vamos ter que tentar achar seu coseno.

cos ⁡ θ = 1 - sen 2 ⁡ θ = 1 - 1 n 2 = n 2 - 1 n 2 = n 2 - 1 n

Substituindo o índice de refração do paralelepípedo n p a r = 2 / 3 , teremos:

cos ⁡ θ = 4 3 - 1 2 / 3 = 3 2 ⋅ 1 3 = 1 2

Assim, o ângulo incidente fica:

i = arcsen ⁡ 2 3 ⋅ 1 2 = arcsen ⁡ 1 3

Que é o ângulo limite.

Passo 4

Ainda não temos nossa resposta, pois para esse ângulo limite temos 2 opções: letra d) e letra c).

Para saber quais das duas estão certas, voltamos para a figura que relaciona todos os ângulos.

Nela, veja o seguinte: Quando eu aumento o ângulo i , eu aumento o ângulo r . Mas isso faz com que eu diminua o ângulo θ .

Ângulos menores que o θ limite não causam reflexão total.

Porém, se eu diminuir o ângulo i , eu acabo aumentando θ . Logo, ângulos i MENORES que o ângulo limite i = arcsen ⁡ 1 / 3 também vão causar reflexão total.

A resposta certa então é a letra d).

i ≤ arcsen ⁡ 1 / 3

Resposta

Letra d)

i ≤ arcsen ⁡ 1 / 3

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