Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia para Derivadas Parciais de Ordem Superior

Hamilton Luiz Guidorizzi, Um curso de cálculo Volume II, 5ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001, p. 286, exercício 5

Considere a função

z = ∂ f ∂ x ( x , sen ⁡ 3 x )

Verifique que

∂ z ∂ x = ∂ 2 f ∂ x 2 x , sen ⁡ 3 x + 3 cos ⁡ 3 x . ∂ 2 f ∂ y ∂ x ( x , sen ⁡ 3 x )

Passo 1

Como z já é uma derivada parcial, ∂ z ∂ x representa, na verdade, uma derivda parcial de segunda ordem de uma função composta, pois podemos dizer

x = x

y = sen ⁡ 3 x

Pela regra da cadeia, temos então:

∂ z ∂ x = ∂ ∂ x ∂ f ∂ x u , v = ∂ f x ∂ x ∂ x ∂ x + ∂ f x ∂ y ∂ y ∂ x  

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos começar pelo mais fácil:

u = x

∂ u ∂ x = 1

E

v = sen ⁡ 3 x

∂ v ∂ x = 3 cos ⁡ 3 x

Passo 3

Ok, agora ∂ f x ∂ x :

∂ f x ∂ x = ∂ 2 f ∂ x 2

E ∂ f x ∂ y :

∂ f x ∂ y = ∂ 2 f ∂ y ∂ x

Passo 4

-

Agora é só substitur tudo no ponto ( x , sen ⁡ 3 x ) e encontramos ∂ z ∂ x ( x , sen ⁡ 3 x ) :

∂ z ∂ x x , sen ⁡ 3 x = ∂ 2 f ∂ x 2 ( x , sen ⁡ 3 x )   . 1 + ∂ 2 f ∂ y ∂ x ( x , sen ⁡ 3 x )   . 3 cos ⁡ 3 x

∂ z ∂ x = ∂ 2 f ∂ x 2 ( x , sen ⁡ 3 x )   + 3 cos ⁡ 3 x ∂ 2 f ∂ y ∂ x ( x , sen ⁡ 3 x )

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