Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia para Derivadas Parciais de Ordem Superior

Derivadas Parciais e o Vetor Gradiente

Mostre que qualquer função da forma

z = f x + a t + g ( x - a t )

É solução da equação de onda

∂ 2 z ∂ t 2 = a 2 ∂ 2 z ∂ x 2

Passo 1

Beleza, a gente tem que calcular as derivadas segundas de z . Mas, z é a soma de duas funções compostas.

Então, repara que, se fizermos

u = x + a t

v = x - a t

Temos que

z = z u , v = f u + g ( v )

Assim, para as derivadas primeiras, a regra da cadeia fica:

∂ z ∂ t = ∂ z ∂ u ⋅ ∂ u ∂ t + ∂ z ∂ v ⋅ ∂ v ∂ t

E

∂ z ∂ x = ∂ z ∂ u ∂ u ∂ x + ∂ z ∂ v ∂ v ∂ x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Não temos a expressão de z , então não podemos calcular suas derivadas parciais em relação a u e a v . Mas, podemos calcular as derivadas parciais de u e de v .

u = x + a t

∂ u ∂ t = a

∂ u ∂ x = 1

v = x - a t

∂ v ∂ t = - a

∂ v ∂ x = 1

Passo 3

Substituindo tudo nas fórmulas da regra da cadeia:

∂ z ∂ t = ∂ z ∂ u ⋅ a + ∂ z ∂ v ⋅ - a = a f ' u - g ' v

E

∂ z ∂ x = ∂ z ∂ u 1 + ∂ z ∂ v 1 = f ' u + g ' v

Passo 4

Até aqui, ok. Mas precisamos pegar essas derivadas parciais e derivar de novo.

Outra vez, usando a regra da cadeia:

∂ 2 z ∂ t 2 = a ∂ f ' u - g ' v ∂ t = a ∂ f ' u ∂ u ∙ ∂ u ∂ t - ∂ g ' v ∂ v ∙ ∂ v ∂ t

E

∂ 2 z ∂ x 2 = ∂ f ' u ∂ u ∙ ∂ u ∂ x + ∂ g ' v ∂ v ∙ ∂ v ∂ x

Passo 5

As derivadas parciais de u e v nós já calculamos no passo 2. Então, substituindo de novo, temos:

∂ 2 z ∂ t 2 = a ∂ f ' u ∂ u ∙ a - ∂ g ' v ∂ v ∙ ( - a )

∂ 2 z ∂ t 2 = a f ' ' u ∙ a - g ' ' ( v ) ∙ ( - a ) = a 2 f ' ' u + g ' ' v

E:

∂ 2 z ∂ x 2 = ∂ f ' u ∂ u ∙ 1 + ∂ g ' v ∂ v ∙ 1

∂ 2 z ∂ x 2 = f ' ' u ∙ 1 + g ' ' v ∙ 1 = f ' ' u + g ' ' v

Passo 6

Agora só falta ver se atende a tal da equação da onda:

∂ 2 z ∂ t 2 = a 2 ∂ 2 z ∂ x 2

a 2 f ' ' u + g ' ' v = a 2 f ' ' u + g ' ' v

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