Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia para Derivadas Parciais de Ordem Superior

UNICAMP, Cálculo 2, Exame - 2017.2 - Matutino, Questão 1

Mostre que qualquer função da forma

z = f x + a t + g ( x - a t )

É solução da equação de onda

2 z t 2 = a 2 2 z x 2

Passo 1

Beleza, a gente tem que calcular as derivadas segundas de z . Mas, z é a soma de duas funções compostas.

Então, repara que, se fizermos

u = x + a t

v = x - a t

Temos que

z = z u , v = f u + g ( v )

Assim, para as derivadas primeiras, a regra da cadeia fica:

z t = z u u t + z v v t

E

z x = z u u x + z v v x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Não temos a expressão de z , então não podemos calcular suas derivadas parciais em relação a u e a v . Mas, podemos calcular as derivadas parciais de u e de v .

u = x + a t

u t = a

u x = 1

v = x - a t

v t = - a

v x = 1

Passo 3

Substituindo tudo nas fórmulas da regra da cadeia:

z t = z u a + z v - a = a f ' u - g ' v

E

z x = z u 1 + z v 1 = f ' u + g ' v

Passo 4

Até aqui, ok. Mas precisamos pegar essas derivadas parciais e derivar de novo.

Outra vez, usando a regra da cadeia:

2 z t 2 = a f ' u - g ' v t = a f ' u u u t - g ' v v v t

E

2 z x 2 = f ' u u u x + g ' v v v x

Passo 5

As derivadas parciais de u e v nós já calculamos no passo 2. Então, substituindo de novo, temos:

2 z t 2 = a f ' u u a - g ' v v ( - a )

2 z t 2 = a f ' ' u a - g ' ' ( v ) ( - a ) = a 2 f ' ' u + g ' ' v

E:

2 z x 2 = f ' u u 1 + g ' v v 1

2 z x 2 = f ' ' u 1 + g ' ' v 1 = f ' ' u + g ' ' v

Passo 6

Agora só falta ver se atende a tal da equação da onda:

2 z t 2 = a 2 2 z x 2

a 2 f ' ' u + g ' ' v = a 2 f ' ' u + g ' ' v

Atende

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