Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia para Derivadas Parciais de Ordem Superior

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Enunciado

Seja f :   R 2 → R , f = f x ,   y uma função de classe C 2 . Considere g :   R 2 → R dada por

g u ,   v = u   f u 2 + v 2 ,   u v

Sabendo que ∂ f ∂ x 2 ,   - 1 = 2 , ∂ f ∂ y 2 ,   - 1 = - 2 , ∂ 2 f ∂ x 2 2 ,   - 1 = 1 , ∂ 2 f ∂ y 2 2 ,   - 1 = 4 e ∂ 2 f ∂ y ∂ x 2 ,   - 1 = 0 , o valor de ∂ 2 g ∂ v   ∂ u 1 ,   - 1 é:

a) - 16 .

b) 16 .

c) 8 .

d) - 8 .

e) 0 .

Passo 1

Partiu resolver mais uma questão de prova da POLI? Essa aqui é sobre regra da cadeia!

O exercício já deu para gente as derivadas parciais de primeira e segunda ordem de f e forneceu uma função g u ,   v que é dada em termos de f :

g u ,   v = u   f u 2 + v 2 ,   u v

Queremos achar a segunda derivada de g com relação a u e   v no ponto 1 ,   - 1 :

∂ 2 g ∂ v   ∂ u 1 ,   - 1

O primeiro passo para isso é tomar a primeira derivada. Derivando g com relação a u pela regra do produto:

∂ g ∂ u = 1 ⋅ f u 2 + v 2 ,   u v + u ⋅ ∂ ∂ u f u 2 + v 2 ,   u v

Agora vamos usar a regra da cadeia no segundo termo com x = u 2 + v 2 e y = u v :

∂ ∂ u f u 2 + v 2 ,   u v = ∂ f ∂ x ⋅ ∂ x ∂ u + ∂ f ∂ y ⋅ ∂ y ∂ u

Como x = u 2 + v 2 e y = u v , temos que

∂ x ∂ u = 2 u

∂ y ∂ u = v

Assim,

∂ ∂ u f u 2 + v 2 ,   u v = 2 u ∂ f ∂ x + v ∂ f ∂ y

Portanto,

∂ g ∂ u = f u 2 + v 2 ,   u v + u ⋅ 2 u ∂ f ∂ x + v ∂ f ∂ y

Ou ainda,

∂ g ∂ u = f u 2 + v 2 ,   u v + 2 u 2 ∂ f ∂ x + u v ∂ f ∂ y

Note que nas derivadas parciais de f estou omitindo o argumento u 2 + v 2 ,   u v . Tô fazendo isso só para não ficar escrevendo muita coisa que só ia confundir você 😉

Passo 2

Agora que já derivamos com relação a u , vamos derivar com relação a v . Se prepare que as coisas vão ficar feias, mas vamos juntos que eu te ajudo:

∂ 2 g ∂ v   ∂ u = ∂ ∂ v f u 2 + v 2 ,   u v + 2 u 2 ∂ f ∂ x + u v ∂ f ∂ y

Assim,

∂ 2 g ∂ v   ∂ u = ∂ ∂ v f u 2 + v 2 ,   u v + ∂ ∂ v 2 u 2 ∂ f ∂ x + ∂ ∂ v u v ∂ f ∂ y

Note que o segund termo é dado por

∂ ∂ v 2 u 2 ∂ f ∂ x = 2 u 2 ⋅ ∂ ∂ v ∂ f ∂ x

Para o terceiro termo, usamos a regra do produto:

∂ ∂ v u v ∂ f ∂ y = u ∂ f ∂ y + u v ⋅ ∂ ∂ v ∂ f ∂ y

Juntando tudo:

∂ 2 g ∂ v   ∂ u = ∂ ∂ v f u 2 + v 2 ,   u v + 2 u 2 ⋅ ∂ ∂ v ∂ f ∂ x + u ∂ f ∂ y + u v ⋅ ∂ ∂ v ∂ f ∂ y

Vamos ter que olhar para cada um desses termos com calma agora, começando pelo primeiro:

∂ ∂ v f u 2 + v 2 ,   u v = ∂ f ∂ x ⋅ ∂ x ∂ v + ∂ f ∂ y ⋅ ∂ y ∂ v

Como x = u 2 + v 2 e y = u v :

∂ x ∂ v = 2 v

∂ y ∂ v = u

Assim,

∂ ∂ v f u 2 + v 2 ,   u v = 2 v ∂ f ∂ x + u ∂ f ∂ y

Passo 3

Vamos olhar agora para o segundo termo. Aplicando a regra da cadeia, derivamos com realação a x e multiplicamos por ∂ x / ∂ v e depois derivamos com relação a y e multiplicamos por ∂ y / ∂ v :

∂ ∂ v ∂ f ∂ x = ∂ ∂ x ∂ f ∂ x ⋅ ∂ x ∂ v + ∂ ∂ y ∂ f ∂ x ⋅ ∂ y ∂ v

Com isso, aparecem as segundas derivadas de f com relação a x e a derivada mista:

∂ ∂ v ∂ f ∂ x = ∂ 2 f ∂ x 2 ⋅ ∂ x ∂ v + ∂ 2 f ∂ y   ∂ x ⋅ ∂ y ∂ v

Como

∂ x ∂ v = 2 v

∂ y ∂ v = u

Temos que

∂ ∂ v ∂ f ∂ x = 2 v ∂ 2 f ∂ x 2 + u ∂ 2 f ∂ y   ∂ x

Passo 4

Por fim, olhando para o último termo, aplicamos a regra da cadeia de novo:

∂ ∂ v ∂ f ∂ y = ∂ ∂ x ∂ f ∂ y ⋅ ∂ x ∂ v + ∂ ∂ y ∂ f ∂ y ⋅ ∂ y ∂ v = ∂ 2 f ∂ x   ∂ y ⋅ ∂ x ∂ v + ∂ 2 f ∂ y 2 ⋅ ∂ y ∂ v

Logo,

∂ ∂ v ∂ f ∂ y = 2 v ∂ 2 f ∂ x   ∂ y + u ∂ 2 f ∂ y 2

Passo 5

Agora vamos voltar para o nosso objetivo final que é achar:

∂ 2 g ∂ v   ∂ u = ∂ ∂ v f u 2 + v 2 ,   u v + 2 u 2 ⋅ ∂ ∂ v ∂ f ∂ x + u ∂ f ∂ y + u v ⋅ ∂ ∂ v ∂ f ∂ y

Substituindo tudo que a gente calculou:

∂ 2 g ∂ v   ∂ u = 2 v ∂ f ∂ x + u ∂ f ∂ y + 2 u 2 2 v ∂ 2 f ∂ x 2 + u ∂ 2 f ∂ y   ∂ x + u ∂ f ∂ y + u v 2 v ∂ 2 f ∂ x   ∂ y + u ∂ 2 f ∂ y 2

Juntando os termos com derivadas em comum:

∂ 2 g ∂ v   ∂ u = 2 v ∂ f ∂ x + u ∂ f ∂ y + 4 u 2 v ∂ 2 f ∂ x 2 + u 2 v ∂ 2 f ∂ y 2 + 2 u ( u 2 + v 2 ) ∂ 2 f ∂ y   ∂ x

Nessa última passagem, lembre-se que como f é de classe C 2 , podemos inverter a ordem das derivadas:

∂ 2 f ∂ y   ∂ x = ∂ 2 f ∂ x   ∂ y

Agora é só substituir: quando u = 1 e v = - 1 , temos que x = 2 e y = - 1 . Assim,

∂ f ∂ x 2 ,   - 1 = 2

∂ f ∂ y 2 ,   - 1 = - 2

∂ 2 f ∂ x 2 2 ,   - 1 = 1

∂ 2 f ∂ y 2 2 ,   - 1 = 4

∂ 2 f ∂ y   ∂ x 2 ,   1 = 0

Portanto,

∂ 2 g ∂ v   ∂ u - 1 ,   1 = 2 - 1 ⋅ 2 + 1 ⋅ - 2 + 4 ⋅ 1 2 ⋅ ( - 1 ) ⋅ 1 + 1 2 ⋅ - 1 ⋅ 4 - 2 ⋅ 2 ⋅ 0

Logo,

∂ 2 g ∂ v   ∂ u 1 ,   - 1 = - 8 - 4 - 4 = - 16

Com isso, nossa resposta é alternativa A. Ufa, deu um trabalhão, mas chegamos lá!

Resposta

Alternativa A.

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