Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia para Derivadas Parciais de Ordem Superior

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Enunciado

Seja u : X ⊂ R 2 → R uma função de duas variáveis definida por :

u x , t = f x + λ t + g x - λ t

Onde λ ∈ R é uma constante. Suponha que as funções f , g possuam todas as derivadas de segunda ordem contínuas. Mostre que:

u t t = λ 2 u x x , ou seja, ∂ 2 u ∂ t 2 = λ 2 ∂ 2 u ∂ x 2

Sugestão: Considere w = x + λ t e v = x - λ t

Passo 1

Vamos começar utilizando a sugestão w = x + λ t e v = x - λ t . Teremos:

u w , v = f w + g v

Isso deve acabar ajudando de alguma forma.

Passo 2

Então vamos encontrar as derivadas de segunda ordem de u . Em relação a x :

u x = ∂ f ∂ w ∂ w ∂ x + ∂ g ∂ v ∂ v ∂ x

Porém:

∂ w ∂ x = 1 ,   ∂ v ∂ x = 1

Vai ficar:

u x = ∂ f ∂ w + ∂ g ∂ v = f w + g v

Derivando novamente em relação a x :

u x x = ∂ f w + g v ∂ x

Note que:

∂ f w + g v ∂ x = ∂ f w ∂ x + ∂ g v ∂ x = ∂ f w ∂ w ∂ w ∂ x + ∂ g v ∂ v ∂ v ∂ x = f w w + g v v

Logo:

u x x = f w w + g v v

Passo 3

Encontrando as derivadas parciais em relação a t :

u t = ∂ f ∂ w ∂ w ∂ t + ∂ g ∂ v ∂ v ∂ t

Porém:

∂ w ∂ t = λ   ,   ∂ v ∂ t = - λ

Vai ficar:

u t = λ ∂ f ∂ w - ∂ g ∂ v = λ f w - g v

Derivando novamente em relação a t :

u t t = λ ∂ f w - g v ∂ t

Note que:

∂ f w - g v ∂ t = λ ∂ f w ∂ t - ∂ g v ∂ t = λ ∂ f w ∂ w ∂ w ∂ t - ∂ g v ∂ v ∂ v ∂ t = λ f w w λ - g v v - λ

Logo:

u t t = λ 2 f w w + g v v

Passo 4

Então, temos:

u x x = f w w + g v v

u t t = λ 2 f w w + g v v

Logo, prova-se que :

u x x = λ 2 u t t

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que todas as funções dadas tenham derivadas parciais de segunda ordem contínuas.Mostre que qualquer função da forma z = f x + a t + g ( x - a t ) é solução da equação de onda ∂ 2 z ∂ t 2 = a 2
Sejam z = z x , y , x = e u cos ⁡ ( v ) e y = e u s e n ( v ) . Suponha que ∂ 2 z ∂ x 2 + ∂ 2 z ∂ y 2 = 0 . Calcule ∂ 2 z ∂ u + ∂ 2 z ∂ v 2
3. Considere a função g t = f a + h t , b + k t , com a ,b ,h e k constantes.b) Supondo f ( x , y ) de classe C 3 num aberto deR 2 , verifique que g ' ' ' t = h 3 ∂ 3 f ∂ x 3 x , y + 3 h 2 k ∂ 3 f ∂ x
5. Considere a função z = x ∂ f ∂ x 2 x , x 2 . Verifique que ∂ z ∂ x = ∂ f ∂ x 2 x , x 3 + x 2 ∂ 2 f ∂ y∂ x 2 x , x 2 + 3 x 2 ∂ 2 f ∂ x 2 2 x , x 2 .
1. Expresse g ' ( t ) em termos de derivadas parciais de f , sendo g dada pora) g t = ∂ f ∂ x x , y ,x = t 2 e y = s e n t .