Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia para Derivadas Parciais de Ordem Superior

PUC-RJ, Cálculo 2, P2 2012.2, questão 3, item b

Seja f x , y uma função com derivadas parciais f x x . f y y , f x y = f y x contínuas. Sejam

x u , v = ln ⁡ 1 + u 2 + v 2

y u , v = e u + v sen ⁡ u v

E

g u , v = f x u , v , y u , v

Assuma que

f ln ⁡ 2 , 0 = 1 ,       f x ln ⁡ 2 , 0 = 2 ,       f y ln ⁡ 2 , 0 = e - 1

Sabendo que

f x x ln ⁡ 2 , 0 = a ,       f x y ln ⁡ 2 , 0 = b ,       f y y ln ⁡ 2 , 0 = c

Calcule g v v 0,1 em função de a , b e c .

Passo 1

Vamos começar achando o gradiente de g v , depois é só pegar a expressão e derivar de novo em relação a v .

Ele disse que

g u , v = f x u , v , y u , v

Então para acharmos a primeira derivada parcial de g , vamos usar a fórmula da regra da cadeia

g v = ∂ f ∂ x x u , v , y u , v . ∂ x ∂ v u , v + ∂ f ∂ y x u , v , y u , v . ∂ y ∂ v u , v

Fica atento aos valores que vamos usar, para f usamos   x u , v , y u , v e para x e y usamos u , v .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos agora para g v

g v = ∂ f ∂ x x u , v , y u , v . ∂ x ∂ v u , v + ∂ f ∂ y x u , v , y u , v . ∂ y ∂ v u , v

Nós temos as funções x u , v e y u , v , vamos as derivadas

∂ x ∂ v = 1 + u 2 + v 2 ' 1 + u 2 + v 2 = 2 v 1 + u 2 + v 2

E

∂ y ∂ v = e u + v sen ⁡ u v + e u + v cos ⁡ u v ∙ u = e u + v sen ⁡ u v + e u + v u cos ⁡ u v

Para a derivada que queremos temos que achar x u , v , y u , v em u , v ,

x u , v , y u , v = ln ⁡ 1 + u 2 + v 2 , e u + v sen ⁡ u v

Temos que fazer a derivada para um u , v quaisquer para só no final substituir o valor de u , v que ele pediu.

Passo 3

Feiosinho essa parada né? Vamos derivar essa zona em relação a v , aplicando a regra da cadeia

∂ 2 g ∂ v 2 = ∂ ∂ v ∂ g ∂ v = ∂ ∂ v ∂ f ∂ x ∂ x ∂ v + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ v

⇒ ∂ ∂ v ∂ f ∂ x ∂ x ∂ v + ∂ ∂ v ∂ f ∂ y ∂ y ∂ v

⇒ ∂ ∂ v ∂ f ∂ x ∂ x ∂ v + ∂ f ∂ x ∂ ∂ v ∂ x ∂ v + ∂ ∂ v ∂ f ∂ y ∂ y ∂ v + ∂ f ∂ y ∂ ∂ v ∂ y ∂ v

⇒ ∂ ∂ v ∂ f ∂ x ∂ x ∂ v + ∂ f ∂ x ∂ 2 x ∂ v 2 + ∂ ∂ v ∂ f ∂ y ∂ y ∂ v + ∂ f ∂ y ∂ 2 y ∂ v 2

Vamos usar a mesma ideia de antes, começando com ∂ ∂ v ∂ f ∂ x

∂ ∂ v ∂ f ∂ x = ∂ f x ∂ v = ∂ f x ∂ x ∂ x ∂ v + ∂ f x ∂ y ∂ y ∂ v = ∂ 2 f ∂ x 2 ∂ x ∂ v + ∂ 2 f ∂ x ∂ y ∂ y ∂ v

Entendeu a ideia, em vez de f colocamos ∂ f ∂ x .

Passo 4

Fazendo a mesma coisa com ∂ ∂ v ∂ f ∂ y

∂ ∂ v ∂ f ∂ y = ∂ f y ∂ v = ∂ f y ∂ x ∂ x ∂ v + ∂ f y ∂ y ∂ y ∂ v = ∂ 2 f ∂ x ∂ y ∂ x ∂ v + ∂ 2 f ∂ y 2 ∂ y ∂ v

Entendeu a ideia, em vez de f colocamos ∂ f ∂ y .

A segunda derivada de g vai ficar

∂ 2 g ∂ v 2 = ∂ 2 f ∂ x 2 ∂ x ∂ v + ∂ 2 f ∂ x ∂ y ∂ y ∂ v ∂ x ∂ v + ∂ f ∂ x ∂ 2 x ∂ v 2 + ∂ 2 f ∂ x ∂ y ∂ x ∂ v + ∂ 2 f ∂ y 2 ∂ y ∂ v ∂ y ∂ v + ∂ f ∂ y ∂ 2 y ∂ v 2

Repara que precisamos da primeira e da segunda derivada disso tudo, em relação a f é no ponto x , y , Vamos achar esses pontos

x 0,1 = ln ⁡ 1 + 0 2 + 1 2 = ln ⁡ 2

y 0,1 = e 0 + 1 sen ⁡ 0 ∙ 1 = e sen ⁡ 0 = 0

Ou seja,

x = ln ⁡ 2

y = 0

Pelo enunciado temos as derivadas de f nesses pontos, precisamos da segunda derivada de x e y em relação a v .

Passo 5

Primeiro vamos achar as primeiras derivadas de x e v no ponto 0,1

∂ x ∂ v 0,1 = 2 ∙ 1 1 + 0 2 + 1 2 = 2 1 + 1 = 2 2 = 1

∂ y ∂ v 0,1 = e 0 + 1 sen ⁡ 0 ∙ 1 + e 0 + 1 0 cos ⁡ 0 ∙ 1 = e sen ⁡ 0 = 0

Agora para as derivadas segundas.

Começando com a derivada de x

∂ 2 x ∂ v 2 = 2 1 + u 2 + v 2 - 2 v 2 v 1 + u 2 + v 2 2

∂ 2 x ∂ v 2 = 2 + 2 u 2 + 2 v 2 - 4 v 2 1 + u 2 + v 2 2

∂ 2 x ∂ v 2 = 2 + 2 u 2 - 2 v 2 1 + u 2 + v 2 2

Agora para a derivada de y

∂ 2 y ∂ v 2 = e u + v sen ⁡ u v + e u + v cos ⁡ u v ∙ u + e u + v u cos ⁡ u v + e u + v u - sen ⁡ u v ∙ u

∂ 2 y ∂ v 2 = e u + v sen ⁡ u v + e u + v u cos ⁡ u v + e u + v u cos ⁡ u v - e u + v u 2 sen ⁡ u v

Vamos agora achar essas derivadas no ponto 0,1

∂ 2 x ∂ v 2 0,1 = 2 + 2 ∙ 0 2 - 2 ∙ 1 2 1 + 0 2 + 1 2 2

∂ 2 x ∂ v 2 0,1 = 2 - 2 1 + 1 2 = 0

∂ 2 y ∂ v 2 0,1 = e 0 + 1 sen ⁡ 0 ∙ 1 + e 0 + 1 0 cos ⁡ 0 ∙ 1 + e 0 + 1 0 cos ⁡ 0 ∙ 1 - e 0 + 1 0 2 sen ⁡ 0 ∙ 1

∂ 2 y ∂ v 2 0,1 = e sen ⁡ 0 + 0 + 0 - 0 = 0

Passo 6

Voltando para a segunda derivada de g

∂ 2 g ∂ v 2 = ∂ 2 f ∂ x 2 ∂ x ∂ v + ∂ 2 f ∂ x ∂ y ∂ y ∂ v ∂ x ∂ v + ∂ f ∂ x ∂ 2 x ∂ v 2 + ∂ 2 f ∂ x ∂ y ∂ x ∂ v + ∂ 2 f ∂ y 2 ∂ y ∂ v ∂ y ∂ v + ∂ f ∂ y ∂ 2 y ∂ v 2

∂ 2 g ∂ v 2 0,1 = a ∙ 1 + b ∙ 0 ∙ 1 + 2 ∙ 0 + b ∙ 1 + c ∙ 0 0 + e - 1 ∙ 0

∂ 2 g ∂ v 2 0,1 = a ∙ 1 + 0 + b 0 + 0

∂ 2 g ∂ v 2 0,1 = a + 0 + 0 + 0

∂ 2 g ∂ v 2 0,1 = a

Resposta

∂ 2 g ∂ v 2 0,1 = a

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