Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia para Derivadas Parciais de Ordem Superior

UFF, Cálculo IIB, Listas GMA, Lista 6, exercício 13

A distribuição de temperatura de um disco com centro na origem é dada por T ( x , y ) , T de classe C ² em R 2 . Sabe-se que

∂ 2 T ∂ y ∂ x x , y = 0

∂ T ∂ y x , y = 2

Calcule ∂ 2 U ∂ θ ² ρ , θ , sendo

U ρ , θ = T ρ cos ⁡ θ ,   ρ sen ⁡ θ

Passo 1

Quem é a função U ? Essa função U nada mais é que a função T ( x , y ) onde

x = ρ cos ⁡ θ

y = ρ sen ⁡ θ

Assim, vamos começar calculando a derivada primeira de U (ou seja, de T ):

∂ U ∂ θ = ∂ T ∂ x . ∂ x ∂ θ + ∂ T ∂ y . ∂ y ∂ θ

∂ U ∂ θ = ∂ T ∂ x . ( - ρ sen ⁡ θ ) + ∂ T ∂ y . ρ cos ⁡ θ

∂ U ∂ θ = ( - ρ sen ⁡ θ ) ∂ T ∂ x + 2 ρ cos ⁡ θ

Certo? Fiz as derivadas parciais de x e y em relação a θ e substitui o dado que o problema deu de que ∂ T ∂ y x , y = 2 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos derivar novamente isso em relação a θ .

Precisamos usar regra da cadeia e regra do produto:

∂ ² U ∂ θ ² = - ρ cos ⁡ θ ∂ T ∂ x + - ρ sen ⁡ θ ∙ ∂ 2 T ∂ x 2 . ∂ x ∂ θ + ∂ 2 T ∂ y ∂ x . ∂ y ∂ θ + 2 - ρ sen ⁡ θ

∂ ² U ∂ θ ² = - ρ cos ⁡ θ ∂ T ∂ x + - ρ sen ⁡ θ ∙ ∂ 2 T ∂ x 2 . ( - ρ sen ⁡ θ ) + 0 . ρ cos ⁡ θ + - 2 ρ sen ⁡ θ

∂ ² U ∂ θ ² = - ρ cos ⁡ θ ∂ T ∂ x + - ρ sen ⁡ θ ∙ ∂ 2 T ∂ x 2 . ( - ρ sen ⁡ θ ) + - 2 ρ sen ⁡ θ

∂ ² U ∂ θ ² = - 2 ρ sen ⁡ θ - ρ cos ⁡ θ ∂ T ∂ x + ( ρ 2 sen 2 ⁡ θ ) ∂ 2 T ∂ x 2

Resposta

∂ ² U ∂ θ ² = - 2 ρ sen ⁡ θ - ρ cos ⁡ θ ∂ T ∂ x + ( ρ 2 sen 2 ⁡ θ ) ∂ 2 T ∂ x 2

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