Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia para Derivadas Parciais de Ordem Superior

Ver Teoria

Enunciado

Seja z = f ( x , y ) , x = r c o s θ , y = r s e n θ . Mostre que ∂ z ∂ x 2 +   ∂ z ∂ y 2 =   ∂ z ∂ r 2 + 1 r 2 ∂ z ∂ θ 2 .

Passo 1

Eaew, belezinha?

O enunciado da questão nos define uma função z arbitrária de duas variáveis cartesianas e uma transformação de coordenadas que, a cada distância r da origem e a cada ângulo θ entre o eixo horizontal e a semi-reta que liga a origem ao ponto, nos retorna duas coordenadas x e y.

Em seguida, a questão nos pede pra mostrar como a derivada de z em relação às coordenadas cartesianas se relacionam com as coordenadas polares. Ora, se temos a transformação de coordenadas que leva um sistema em outro, podemos relacionar a variação de qualquer função nos dois sistemas. Então vamos lá!

Passo 2

Como z é uma função de x e y que, por sua vez, são funções de r e de θ , podemos calcular a variação de z em relação às coordenadas polares através da regra da cadeia e sabendo como as coordenadas cartesianas se relacionam com as polares. Sabendo que um diferencial da função de duas variáveis z, em termos das coordenadas cartesianas, pode ser escrito como

d z ( x ,   y ) = ∂ z ∂ x d x + ∂ z ∂ y d y

E que, como x e y são funções das variáveis r e θ , seus diferenciais em relação à variações de r e θ podem ser escritos como

d x ( r , θ ) = ∂ x ∂ r d r + ∂ x ∂   θ d   θ

d y ( r , θ ) = ∂ y ∂ r d r + ∂ y ∂   θ d   θ

Substituindo as variações dx e dy na expressão para dz e, como r e θ são variáveis independentes (então d θ d r = d r d θ = 0   e   d r d r = d θ d θ = 1 ), podemos escrever a derivada de z em relação à r como:

∂ ∂ r z ( x ( r , θ ) ,   y ( r , θ ) ) = ∂ z ∂ x ∂ x ∂ r + ∂ z ∂ y ∂ y ∂ r

E a derivada de z em relação à θ como

∂ ∂ θ z ( x ( r , θ ) ,   y ( r , θ ) ) = ∂ z ∂ x ∂ x ∂ θ + ∂ z ∂ y ∂ y ∂ θ

Passo 3

Agora só falta calcular essas derivadas parciais! Como x = rcos θ e y = rsen θ , temos que as derivadas parciais são

∂ x ∂ r = c o s θ   ,           ∂ y ∂ r = s e n θ  

∂ x ∂ θ = - r s e n θ   ,           ∂ y ∂ θ = r c o s θ  

Substituindo nas expressões para as derivadas de z em relação à r e à θ , obtemos

∂ ∂ r z ( x ( r , θ ) ,   y ( r , θ ) ) = ∂ z ∂ x ∂ x ∂ r + ∂ z ∂ y ∂ y ∂ r = ∂ z ∂ x c o s θ + ∂ z ∂ y s e n θ

∂ ∂ θ z ( x ( r , θ ) ,   y ( r , θ ) ) = - r ∂ z ∂ x s e n θ + r ∂ z ∂ y c o s θ

Dividindo a última expressão por r, elevando as duas expressões ao quadrado e, somando-as, obtemos

∂ z ∂ r 2 + 1 r 2 ∂ z ∂ θ =

∂ z ∂ x 2 c o s 2 θ + ∂ z ∂ y s e n θ 2 + 2 s e n θ c o s θ ∂ z ∂ x ∂ z ∂ y + ∂ z ∂ x 2 s e n 2 θ + ∂ z ∂ y 2 c o s 2 θ - 2 s e n θ c o s θ ∂ z ∂ x ∂ z ∂ y

Utilizando a identidade trigonométrica c o s 2 θ + s e n 2 θ = 1 na expressão acima, obtemos a igualdade pedida no enunciado:

∂ z ∂ r 2 + 1 r 2 ∂ z ∂ θ = ∂ z ∂ x 2   + ∂ z ∂ y 2

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

Ao longo dos passos!

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que todas as funções dadas tenham derivadas parciais de segunda ordem contínuas.Mostre que qualquer função da forma z = f x + a t + g ( x - a t ) é solução da equação de onda ∂ 2 z ∂ t 2 = a 2
Sejam z = z x , y , x = e u cos ⁡ ( v ) e y = e u s e n ( v ) . Suponha que ∂ 2 z ∂ x 2 + ∂ 2 z ∂ y 2 = 0 . Calcule ∂ 2 z ∂ u + ∂ 2 z ∂ v 2
3. Considere a função g t = f a + h t , b + k t , com a ,b ,h e k constantes.b) Supondo f ( x , y ) de classe C 3 num aberto deR 2 , verifique que g ' ' ' t = h 3 ∂ 3 f ∂ x 3 x , y + 3 h 2 k ∂ 3 f ∂ x
5. Considere a função z = x ∂ f ∂ x 2 x , x 2 . Verifique que ∂ z ∂ x = ∂ f ∂ x 2 x , x 3 + x 2 ∂ 2 f ∂ y∂ x 2 x , x 2 + 3 x 2 ∂ 2 f ∂ x 2 2 x , x 2 .
1. Expresse g ' ( t ) em termos de derivadas parciais de f , sendo g dada pora) g t = ∂ f ∂ x x , y ,x = t 2 e y = s e n t .