Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia para Derivadas Parciais de Ordem Superior

UFF, Cálculo IIB, Listas GMA, Lista 6, exercício 17

Suponha que f ∈ C ² em R 2 , c ≠ 0 , c constante e f ( x , t ) satisfaz a equação

∂ 2 f ∂ t 2 = c 2 ∂ 2 f ∂ x 2

Determine constantes m , n , p e q para que g u , v = f ( x , t ) , onde

x = m u + n v     ,     m n ≠ 0

t = p u + q v     ,       p q ≠ 0

Satisfaça a equação

∂ 2 g ∂ u ∂ v = 0

Passo 1

Ok, vamos entender que é essa função g .

Bem, ela é só a função f ( x , t ) , onde

x = m u + n v    

t = p u + q v    

Tranquilo, né?

Agora vamos calcular essa derivada parcial mista de g aí né.

Mas antes temos que calcular ∂ g ∂ v .

∂ g ∂ v = ∂ f ∂ x ∂ x ∂ v + ∂ f ∂ t ∂ t ∂ v

∂ g ∂ v = ∂ f ∂ x n + ∂ f ∂ t q

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Beleza, agora vamos calcular ∂ 2 g ∂ u ∂ v . Pela regra da cadeia:

∂ 2 g ∂ u ∂ v = ∂ ∂ u ∂ g ∂ v = n ∂ 2 f ∂ x 2 . ∂ x ∂ u + ∂ 2 f ∂ t ∂ x . ∂ t ∂ u + q ∂ 2 f ∂ t 2 . ∂ t ∂ u + ∂ 2 f ∂ x ∂ t . ∂ x ∂ u

∂ 2 g ∂ u ∂ v = n ∂ 2 f ∂ x 2 . m + ∂ 2 f ∂ t ∂ x . p + q ∂ 2 f ∂ t 2 . p + ∂ 2 f ∂ x ∂ t . m

∂ 2 g ∂ u ∂ v = m n ∂ 2 f ∂ x 2 + n p ∂ 2 f ∂ t ∂ x + p q ∂ 2 f ∂ t 2 + q m ∂ 2 f ∂ x ∂ t

Passo 3

Como o enunciado nos diz que f é de classe C ² , então

∂ 2 f ∂ x ∂ t = ∂ 2 f ∂ t ∂ x

Assim

∂ 2 g ∂ u ∂ v = m n ∂ 2 f ∂ x 2 + p q ∂ 2 f ∂ t 2 + ( n p + q m ) ∂ 2 f ∂ t ∂ x

Passo 4

Agora, vamos fazer

∂ 2 g ∂ u ∂ v = 0

m n ∂ 2 f ∂ x 2 + p q ∂ 2 f ∂ t 2 + n p + m q ∂ 2 f ∂ t ∂ x = 0

Para que isso seja verdade,

n p + m q = 0

Assim

m n ∂ 2 f ∂ x 2 + p q ∂ 2 f ∂ t 2 = 0

∂ 2 f ∂ t 2 = - m n p q ∂ 2 f ∂ x 2

Do enunciado, temos que

∂ 2 f ∂ t 2 = c 2 ∂ 2 f ∂ x 2

Então podemos fazer

- m n p q = c 2

Assim

- m n = c 2 p q

m n + c 2 p q = 0

Passo 5

Dessa forma, para que ∂ 2 g ∂ u ∂ v seja igual a zero, precisamos que

n p + m q = 0

m n + c 2 p q = 0

Temos um sistema com duas equações e quatro incógnitas. Assim, temos infinitas soluções.

Então, quaisquer valores de m , n , p e q que satisfaçam essas equações são válidos. Por exemplo

n = 1

m = 1

q = 1 c 2

p = - 1 c 2

Resposta

Infinitas soluções. Por exemplo

n = 1

m = 1

q = 1 c 2

p = - 1 c 2

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