Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia para Derivadas Parciais de Ordem Superior

Hamilton Luiz Guidorizzi, Um curso de cálculo Volume II, 5ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001, p. 286, exercício 5

Considere a função

z = f x ( x , sen 3 x )

Verifique que

z x = 2 f x 2 x , sen 3 x + 3 cos 3 x . 2 f y x ( x , sen 3 x )

Passo 1

Como z já é uma derivada parcial, z x representa, na verdade, uma derivda parcial de segunda ordem de uma função composta, pois podemos dizer

x = x

y = sen 3 x

Pela regra da cadeia, temos então:

z x = x f x u , v = f x x x x + f x y y x  

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos começar pelo mais fácil:

u = x

u x = 1

E

v = sen 3 x

v x = 3 cos 3 x

Passo 3

Ok, agora f x x :

f x x = 2 f x 2

E f x y :

f x y = 2 f y x

Passo 4

-

Agora é só substitur tudo no ponto ( x , sen 3 x ) e encontramos z x ( x , sen 3 x ) :

z x x , sen 3 x = 2 f x 2 ( x , sen 3 x )   . 1 + 2 f y x ( x , sen 3 x )   . 3 cos 3 x

z x = 2 f x 2 ( x , sen 3 x )   + 3 cos 3 x 2 f y x ( x , sen 3 x )

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