Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia para Derivadas Parciais de Ordem Superior

UFF, Cálculo IIB, Listas GMA - Lista 6, Questão 13

A distribuição de temperatura de um disco com centro na origem é dada por T ( x , y ) , T de classe C ² em R 2 . Sabe-se que

2 T y x x , y = 0

T y x , y = 2

Calcule 2 U θ ² ρ , θ , sendo

U ρ , θ = T ρ cos θ ,   ρ sen θ

Passo 1

Quem é a função U ? Essa função U nada mais é que a função T ( x , y ) onde

x = ρ cos θ

y = ρ sen θ

Assim, vamos começar calculando a derivada primeira de U (ou seja, de T ):

U θ = T x . x θ + T y . y θ

U θ = T x . ( - ρ sen θ ) + T y . ρ cos θ

U θ = ( - ρ sen θ ) T x + 2 ρ cos θ

Certo? Fiz as derivadas parciais de x e y em relação a θ e substitui o dado que o problema deu de que T y x , y = 2 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos derivar novamente isso em relação a θ .

Precisamos usar regra da cadeia e regra do produto:

² U θ ² = - ρ cos θ T x + - ρ sen θ 2 T x 2 . x θ + 2 T y x . y θ + 2 - ρ sen θ

² U θ ² = - ρ cos θ T x + - ρ sen θ 2 T x 2 . ( - ρ sen θ ) + 0 . ρ cos θ + - 2 ρ sen θ

² U θ ² = - ρ cos θ T x + - ρ sen θ 2 T x 2 . ( - ρ sen θ ) + - 2 ρ sen θ

² U θ ² = - 2 ρ sen θ - ρ cos θ T x + ( ρ 2 sen 2 θ ) 2 T x 2

Resposta

² U θ ² = - 2 ρ sen θ - ρ cos θ T x + ( ρ 2 sen 2 θ ) 2 T x 2

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas