Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia para Derivadas Parciais de Ordem Superior

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Enunciado

A distribuição de temperatura de um disco com centro na origem é dada por T ( x , y ) , T de classe C ² em R 2 . Sabe-se que

∂ 2 T ∂ y ∂ x x , y = 0

∂ T ∂ y x , y = 2

Calcule ∂ 2 U ∂ θ ² ρ , θ , sendo

U ρ , θ = T ρ cos ⁡ θ ,   ρ sen ⁡ θ

Passo 1

Quem é a função U ? Essa função U nada mais é que a função T ( x , y ) onde

x = ρ cos ⁡ θ

y = ρ sen ⁡ θ

Assim, vamos começar calculando a derivada primeira de U (ou seja, de T ):

∂ U ∂ θ = ∂ T ∂ x . ∂ x ∂ θ + ∂ T ∂ y . ∂ y ∂ θ

∂ U ∂ θ = ∂ T ∂ x . ( - ρ sen ⁡ θ ) + ∂ T ∂ y . ρ cos ⁡ θ

∂ U ∂ θ = ( - ρ sen ⁡ θ ) ∂ T ∂ x + 2 ρ cos ⁡ θ

Certo? Fiz as derivadas parciais de x e y em relação a θ e substitui o dado que o problema deu de que ∂ T ∂ y x , y = 2 .

Passo 2

Agora vamos derivar novamente isso em relação a θ .

Precisamos usar regra da cadeia e regra do produto:

∂ ² U ∂ θ ² = - ρ cos ⁡ θ ∂ T ∂ x + - ρ sen ⁡ θ ∙ ∂ 2 T ∂ x 2 . ∂ x ∂ θ + ∂ 2 T ∂ y ∂ x . ∂ y ∂ θ + 2 - ρ sen ⁡ θ

∂ ² U ∂ θ ² = - ρ cos ⁡ θ ∂ T ∂ x + - ρ sen ⁡ θ ∙ ∂ 2 T ∂ x 2 . ( - ρ sen ⁡ θ ) + 0 . ρ cos ⁡ θ + - 2 ρ sen ⁡ θ

∂ ² U ∂ θ ² = - ρ cos ⁡ θ ∂ T ∂ x + - ρ sen ⁡ θ ∙ ∂ 2 T ∂ x 2 . ( - ρ sen ⁡ θ ) + - 2 ρ sen ⁡ θ

∂ ² U ∂ θ ² = - 2 ρ sen ⁡ θ - ρ cos ⁡ θ ∂ T ∂ x + ( ρ 2 sen 2 ⁡ θ ) ∂ 2 T ∂ x 2

Resposta

∂ ² U ∂ θ ² = - 2 ρ sen ⁡ θ - ρ cos ⁡ θ ∂ T ∂ x + ( ρ 2 sen 2 ⁡ θ ) ∂ 2 T ∂ x 2

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Suponha que todas as funções dadas tenham derivadas parciais de segunda ordem contínuas.Mostre que qualquer função da forma z = f x + a t + g ( x - a t ) é solução da equação de onda ∂ 2 z ∂ t 2 = a 2
Sejam z = z x , y , x = e u cos ⁡ ( v ) e y = e u s e n ( v ) . Suponha que ∂ 2 z ∂ x 2 + ∂ 2 z ∂ y 2 = 0 . Calcule ∂ 2 z ∂ u + ∂ 2 z ∂ v 2
3. Considere a função g t = f a + h t , b + k t , com a ,b ,h e k constantes.b) Supondo f ( x , y ) de classe C 3 num aberto deR 2 , verifique que g ' ' ' t = h 3 ∂ 3 f ∂ x 3 x , y + 3 h 2 k ∂ 3 f ∂ x
5. Considere a função z = x ∂ f ∂ x 2 x , x 2 . Verifique que ∂ z ∂ x = ∂ f ∂ x 2 x , x 3 + x 2 ∂ 2 f ∂ y∂ x 2 x , x 2 + 3 x 2 ∂ 2 f ∂ x 2 2 x , x 2 .
1. Expresse g ' ( t ) em termos de derivadas parciais de f , sendo g dada pora) g t = ∂ f ∂ x x , y ,x = t 2 e y = s e n t .