Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia para Derivadas Parciais de Ordem Superior
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UFF, Cálculo IIB, Listas GMA, Lista 6, exercício 13
A distribuição de temperatura de um disco com centro na origem é dada por , de classe em . Sabe-se que
Calcule , sendo
Passo 1
Quem é a função ? Essa função nada mais é que a função onde
Assim, vamos começar calculando a derivada primeira de (ou seja, de ):
Certo? Fiz as derivadas parciais de e em relação a e substitui o dado que o problema deu de que .
Passo 2
Agora vamos derivar novamente isso em relação a .
Precisamos usar regra da cadeia e regra do produto:
Resposta
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Suponha que todas as funções dadas tenham derivadas parciais de segunda ordem contínuas.Mostre que qualquer função da forma z = f x + a t + g ( x - a t ) é solução da equação de onda ∂ 2 z ∂ t 2 = a 2
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Sejam z = z x , y , x = e u cos ( v ) e y = e u s e n ( v ) . Suponha que ∂ 2 z ∂ x 2 + ∂ 2 z ∂ y 2 = 0 . Calcule ∂ 2 z ∂ u + ∂ 2 z ∂ v 2
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3. Considere a função g t = f a + h t , b + k t , com a ,b ,h e k constantes.b) Supondo f ( x , y ) de classe C 3 num aberto deR 2 , verifique que g ' ' ' t = h 3 ∂ 3 f ∂ x 3 x , y + 3 h 2 k ∂ 3 f ∂ x
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5. Considere a função z = x ∂ f ∂ x 2 x , x 2 . Verifique que ∂ z ∂ x = ∂ f ∂ x 2 x , x 3 + x 2 ∂ 2 f ∂ y∂ x 2 x , x 2 + 3 x 2 ∂ 2 f ∂ x 2 2 x , x 2 .
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1. Expresse g ' ( t ) em termos de derivadas parciais de f , sendo g dada pora) g t = ∂ f ∂ x x , y ,x = t 2 e y = s e n t .
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