Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia para Derivadas Parciais de Ordem Superior

UFF, Cálculo IIB, Listas GMA - Lista 6, Questão 14

Seja g u , v = f u + v , u v , f de classe C 2 em R 2 , x = u + v , y = u v . Calcule

g u 1,1   e 2 g u v 1,1

Sabendo que f x 2,1 = 3 , f y 2,1 = - 3 f x x 2,1 = 0 , f x y 2,1 = f y x 2,1 = 1 , f y y 2,1 = 2

Passo 1

Não se assuste com a cara desse maluco, vamos primeiro achar a primeira derivada em relação a u , aqui é só aplicar a regra da cadeia. Lembra que primeiro fazemos o gradiente de f

f = f x , f y

Agora temos que achar esse gradiente quando u = 1 e v = 1 , primeiro vamos achar o valor de x e y

x = u + v = 1 + 1 = 2

y = u v = 1.1 = 1

Então vamos ter

f 1,1 = f x 2,1 , f y 2,1 = 3 , - 3

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos achar a derivada da parametrização, ou seja, como a parametrização é σ u , v , vamos ter

σ x = x u , y u

x u = 1

y u = v

Agora achamos essas derivadas no ponto u = 1 e v = 1

σ x = 1,1

Passo 3

A derivada vai ficar

g u = f σ x = 3 , - 3 1,1 = 3 - 3 = 0

Passo 4

Vamos agora achar a derivada de segunda ordem, primeiro vamos reescrever o vetor gradiente para um ponto qualquer u , v

f u , v = f x u + v , u v , f y u + v , u v

Agora vamos reescrever a derivada da parametrização para um ponto u , v também

σ x = 1 , v

Aplicando a regra da cadeia vamos ter

g u = f σ x = f x u + v , u v , f y u + v , u v 1 , v = f x u + v , u v + v f y u + v , u v

Precisamos agora derivar isso em relação a v

v f x u + v , u v + v f y u + v , u v = v f x u + v , u v + v v f y u + v , u v + v v f y u + v , u v =

v f x u + v , u v + f y u + v , u v + v v f y u + v , u v

Passo 5

Vamos começar achando v f x u + v , u v usando a regra da cadeia, precisamos da derivada da parametrização que já temos e o vetor gradiente de f x que vai ser

f x = f x x , f x y

Aplicando em um ponto qualquer u , v

f x u , v = f x x u + v , u v , f x y u + v , u v

Lembrando que

σ x = 1 , v

Vamos ter

v f x u + v , u v = f x x u + v , u v , f x y u + v , u v 1 , v

f x x u + v , u v + v f x y u + v , u v

Passo 6

Vamos fazer agora v f y u + v , u v usando a regra da cadeia, precisamos da derivada da parametrização que já temos e o vetor gradiente de f x que vai ser

f y = f y x , f y y

Aplicando em um ponto qualquer u , v

f y u , v = f y x u + v , u v , f y y u + v , u v

Lembrando que

σ x = 1 , v

Vamos ter

v f y u + v , u v = f y x u + v , u v , f y y u + v , u v 1 , v

f y x u + v , u v + v f y y u + v , u v

Passo 7

Vamos juntar a porra toda, vai ficar horrível mas vamos lá

2 g u v = v f x u + v , u v + f y u + v , u v + v v f y u + v , u v

f x x u + v , u v + v f x y u + v , u v + f y u + v , u v + f y x u + v , u v + v f y y u + v , u v

Precisamos agora trocar u = 1 e v = 1

f x x 1 + 1,1.1 + 1 f x y 1 + 1,1.1 + f y 1 + 1,1.1 + f y x 1 + 1,1.1 + 1 f y y 1 + 1,1.1

2 g u v 1,1 = f x x 2,1 + f x y 2,1 + f y 2,1 + f y x 2,1 + f y y 2,1

2 g u v 1,1 = 0 + 1 - 3 + 1 + 2 = 1

Resposta

g u 1,1 = 0

2 g u v 1,1 = 1

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