Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia para Derivadas Parciais de Ordem Superior

USP, Cálculo 2, P2 - 2016, Questão 2

Seja f   : R 2 R 2 de classe C 2 em R 2 , tal que

f t 2 + t , t + 1 = t 2 + 2 t + 1

Para todo t R .

Sabendo-se que

2 f x 2 2,2 = 2 f x y 2,2 = 1

E

2 f y 2 2,2 = 2

Calcule f x ( 2,2 ) .

Passo 1

Sabemos que f é uma função composta, do tipo

f ( x , y )

Com

x = x t = t 2 + t

y = y t = t + 1

Assim, para achar a derivada parcial de f em relação a x , temos que usar a regra da cadeia:

d f d t = f x d x d t + f y d y d t

Como temos a definição de f em função de t e de x e y em função de t , podemos fazer essas derivadas e substituir nessa expressão. Ficamos com:

2 t + 2 = f x ( 2 t + 1 ) + f y 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Como os dados que a questão dá pra gente são de derivadas segundas, vamos derivar isso novamente em relação a t .

Usando a regra do produto E novamente a regra da cadeia para derivar em relação a t , temos:

2 = 2 f x 2 d x d t + 2 f y x d y d t 2 t + 1 + 2 . f x + 2 f x y d x d t + 2 f y 2 d y d t 1 + 0 . f y

2 = 2 f x 2 2 t + 1 + 2 f y x 1 2 t + 1 + 2 . f x + 2 f x y 2 t + 1 + 2 f y 2 1 1

Passo 3

Acontece que ainda dá pra substituir mais coisas nesse negócio ai.

Se substituirmos no ponto t = 1 x 1 , y 1 = ( 2,2 ) , temos

2 = 2 f x 2 ( 2,2 ) 2 . 1 + 1 + f y x ( 2,2 ) 1 2 . 1 + 1 + 2 . f x + f x y ( 2,2 ) 2 . 1 + 1 + 2 f y 2 ( 2,2 ) 1 1

2 = 2 f x 2 ( 2,2 ) 3 + f y x ( 2,2 ) 3 + 2 . f x + f x y ( 2,2 ) 3 + 2 f y 2 ( 2,2 ) 1

Sabemos que f é uma função de classe C 2 , então:

2 f x y 2,2 = 2 f y x 2,2 = 1

E

2 f x 2 2,2 = 1

2 f y 2 2,2 = 2

Substituindo tudo então:

2 = 1 3 + 1 3 + 2 . f x + 1 3 + 2 1

2 = 12 + 2 . f x + 5

Assim

f x = - 15 2

Resposta

f x = - 15 2

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