Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia para Derivadas Parciais de Ordem Superior

USP, Cálculo 2, P2 - 2015, Questão 2

Seja f : R 2 R ,   f = f x , y uma função de classe C 2 e seja

g u , t = f u 2 - t 2 ,   2 u t .

Calcule as derivadas parciais g u ,   g t , 2 g u 2   e   2 g t 2 em termos das derivadas parciais de f e determine o valor de r > 0 para que a igualdade

2 g u 2 u , t + 2 g t 2 u , t = 48 2 f x 2 u 2 - t 2 ,   2 u t + 2 f y 2 u 2 - t 2 ,   2 u t

seja válida para todo u , t R 2 com u 2 + t 2 = r 2 .

Observação: Deixe os cálculos de TODAS as derivadas parciais na prova.

Passo 1

Esse é um típico caso de regra da cadeia com 2 parâmetros:

g = f x , y ,

onde

x = x u , t = u 2 - t 2

y = y u , t = 2 u t

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Começando pelas derivadas parciais de primeira ordem:

g u = f x x u + f y y u

g t = f x x t + f y y t

Temos

x = u 2 - t 2 x u = 2 u x t = - 2 t

y = 2 u t y u = 2 t y t = 2 u

Passo 3

Substituindo, obtemos

g u = f x 2 u + f y 2 t

g t = f x - 2 t + f y 2 u

Passo 4

Agora que vem a parte chata...as derivadas de ordem superior.

Vamos começar calculando 2 g u 2 u , t . Pra isso temos que pegar a g u e derivar novamente em relação a u . Lembrando que

g u = f x 2 u + f y 2 t

Vamos ter que aplicar a regra do produto...duas vezes...Só de imaginar essa conta já deu preguiça. Mas não desanime marujo! Respira fundo e vem comigo!

Passo 5

Então, pela regra do produto:

2 g u 2 = 2 f x + 2 u 2 f x 2 2 u + 2 f y x 2 t + 2 t 2 f x y 2 u + 2 f y 2 2 t

As derivadas parciais de f são tomadas em x ,   y = ( u 2 - t 2 ,   2 u t ) . Então vamos ter

2 g u 2 u , t = 2 f x u 2 - t 2 ,   2 u t + 4 u 2 2 f x 2 u 2 - t 2 ,   2 u t + 4 u t 2 f y x u 2 - t 2 ,   2 u t + 4 u t 2 f x y u 2 - t 2 ,   2 u t   + 4 t 2 2 f y 2 ( u 2 - t 2 ,   2 u t )

Bem feio né?

Passo 6

Agora vamos pra outra! Lembrando que

g t = f x - 2 t + f y 2 u

Vamos ter:

2 g t 2 = - 2 f x - 2 t 2 f x 2 - 2 t + 2 f y x 2 u + 2 u 2 f x y - 2 t + 2 f y 2 2 u

Desenvolvendo:

2 g t 2 u ,   t = - 2 f x ( u 2 - t 2 ,   2 u t ) + 4 t 2 2 f x 2 ( u 2 - t 2 ,   2 u t ) - 4 u t 2 f y x ( u 2 - t 2 ,   2 u t ) - 4 u t 2 f x y ( u 2 - t 2 ,   2 u t ) + 4 u 2 2 f y 2 ( u 2 - t 2 ,   2 u t )

Passo 7

Agora vamos pra segunda parte da questão. Temos que verificar a igualdade

2 g u 2 u , t + 2 g t 2 u , t = 48 2 f x 2 u 2 - t 2 ,   2 u t + 2 f y 2 u 2 - t 2 ,   2 u t

Somando as duas derivadas bizarras:

2 g u 2 u , t + 2 g t 2 u , t = 2 f x u 2 - t 2 ,   2 u t + 4 u 2 2 f x 2 u 2 - t 2 ,   2 u t + 4 u t 2 f y x u 2 - t 2 ,   2 u t + 4 u t 2 f x y u 2 - t 2 ,   2 u t   + 4 t 2 2 f y 2 ( u 2 - t 2 ,   2 u t ) - 2 f x ( u 2 - t 2 ,   2 u t ) + 4 t 2 2 f x 2 ( u 2 - t 2 ,   2 u t ) - 4 u t 2 f y x ( u 2 - t 2 ,   2 u t ) - 4 u t 2 f x y ( u 2 - t 2 ,   2 u t ) + 4 u 2 2 f y 2 ( u 2 - t 2 ,   2 u t )

Passo 8

Dá pra cortar algumas coisas e aí sobra:

4 u 2 2 f x 2 u 2 - t 2 ,   2 u t + 4 t 2 2 f y 2 u 2 - t 2 ,   2 u t + 4 t 2 2 f x 2 u 2 - t 2 ,   2 u t + 4 u 2 2 f y 2 u 2 - t 2 ,   2 u t

Botando 4 u 2 + t 2 em evidência:

4 u 2 + t 2 2 f x 2 u 2 - t 2 ,   2 u t + 2 f y 2 u 2 - t 2 ,   2 u t

Passo 9

E a gente quer verificar que isso é igual a

48 2 f x 2 u 2 - t 2 ,   2 u t + 2 f y 2 u 2 - t 2 ,   2 u t

Ou seja,

4 u 2 + t 2 = 48

u 2 + t 2 = 12

Lembrando que ele forneceu u 2 + t 2 = r 2 , com r > 0 . Logo,

r 2 = 12

r = 12

Aí está!! Deu um belo de um trabalho essa questão hein.

Resposta

g u = f x 2 u + f y 2 t

g t = f x - 2 t + f y 2 u

2 g u 2 u , t = 2 f x u 2 - t 2 ,   2 u t + 4 u 2 2 f x 2 u 2 - t 2 ,   2 u t + 4 u t 2 f y x u 2 - t 2 ,   2 u t + 4 u t 2 f x y u 2 - t 2 ,   2 u t   + 4 t 2 2 f y 2 ( u 2 - t 2 ,   2 u t )

2 g t 2 u ,   t - 2 f x ( u 2 - t 2 ,   2 u t ) + 4 t 2 2 f x 2 ( u 2 - t 2 ,   2 u t ) - 4 u t 2 f y x ( u 2 - t 2 ,   2 u t ) - 4 u t 2 f x y ( u 2 - t 2 ,   2 u t ) + 4 u 2 2 f y 2 ( u 2 - t 2 ,   2 u t )

r = 12

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