Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia para Derivadas Parciais de Ordem Superior

UFPE, Calculo 2, 1º EE - 2012.2, Questão 4

Seja u : X R 2 R uma função de duas variáveis definida por :

u x , t = f x + λ t + g x - λ t

Onde λ R é uma constante. Suponha que as funções f , g possuam todas as derivadas de segunda ordem contínuas. Mostre que:

u t t = λ 2 u x x , ou seja, 2 u t 2 = λ 2 2 u x 2

Sugestão: Considere w = x + λ t e v = x - λ t

Passo 1

Vamos começar utilizando a sugestão w = x + λ t e v = x - λ t . Teremos:

u w , v = f w + g v

Isso deve acabar ajudando de alguma forma.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Então vamos encontrar as derivadas de segunda ordem de u . Em relação a x :

u x = f w w x + g v v x

Porém:

w x = 1 ,   v x = 1

Vai ficar:

u x = f w + g v = f w + g v

Derivando novamente em relação a x :

u x x = f w + g v x

Note que:

f w + g v x = f w x + g v x = f w w w x + g v v v x = f w w + g v v

Logo:

u x x = f w w + g v v

Passo 3

Encontrando as derivadas parciais em relação a t :

u t = f w w t + g v v t

Porém:

w t = λ   ,   v t = - λ

Vai ficar:

u t = λ f w - g v = λ f w - g v

Derivando novamente em relação a t :

u t t = λ f w - g v t

Note que:

f w - g v t = λ f w t - g v t = λ f w w w t - g v v v t = λ f w w λ - g v v - λ

Logo:

u t t = λ 2 f w w + g v v

Passo 4

Então, temos:

u x x = f w w + g v v

u t t = λ 2 f w w + g v v

Logo, prova-se que :

u x x = λ 2 u t t

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