Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia para Derivadas Parciais de Ordem Superior

Derivadas Parciais e o Vetor Gradiente, Regra da Cadeia

Seja h uma função de duas variáveis com derivadas se segunda ordem contínuas. Se z = h x , y , em que x = r 2 + s 2 e y = 2 r s , determine δ 2 z δ r δ s .

Passo 1

Uma simples grande e chata pra cacete aplicação da regra da cadeia! Temos uma função, que é função de duas outras, e queremos a derivada dessa função maior em relação aos argumentos das funções de dentro. A dica é imaginar como uma árvore, sendo o caule central a função principal, e nela, temos como argumentos outras funções, que vão ramificando para quantas funções quisermos até chegar nos argumentos finais.

Enfim, dei uma viajada, mas mão na massa!

Queremos a derivada parcial mista, mas a questão nos diz que as derivadas de segunda ordem da nossa função são contínuas. Isso quer dizer que podemos derivar em qualquer ordem que preferirmos, pois as derivadas parciais mistas vão ser iguais, beleza?

Derivando z x r , s , y r , s primeiro então em relação a r , temos:

δ z δ r h x r , s , y r , s = δ h δ x   . δ x δ r + δ h δ y   . δ y δ r

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Passo 2

Agora temos que calcular essas derivadas parciais de x e y   em relação a r :

x = r 2 + s 2

δ x δ r = 2 r

y = 2 r s

δ y δ r = 2 s

Como não sabemos que função z = h x , y é essa, vamos deixar esse nabo todo em função de h x e h y mesmo:

z r = h x . 2 r + h y   . 2 s

Passo 3

Beleza, agora temos que pegar esse z r e derivar em relação a s . É, mano, segura firme que agora é regra da cadeia mais regra do produto, essa parada vai crescer!

z r s = δ δ s h x . 2 r +   δ δ s h y . 2 s

Ou seja, para o primeiro termo, h x . 2 r , temos que derivar o h x em relação a s , multiplicar por 2 r e somar com o 2 r derivado em relação a s multiplicado por h x (é aplicar a regra do produto, derivando em relação a s ).

Fica então:

z r s = δ δ s h x . 2 r + δ δ s 2 r . h x +   δ δ s h y . 2 s + δ δ s 2 s . h y

Passo 4

Calculando a derivada em relação a s de h x , temos:

h x s = δ h x δ x . δ x δ s +   δ h x δ y . δ y δ s

Como δ x δ s e δ y δ s são:

x = r 2 + s 2

δ x δ s = 2 s

y = 2 r s

δ y δ s = 2 r

Então temos, substituindo ali em cima,

h x s = h x x . 2 s + h x y . 2 r

E não esquecendo, isso que acabamos de encontrar foi só o primeiro termo da nossa derivada de z r em relação a s ... Olha como tá ficando:

z r s = h x x . 2 s + h x y . 2 r . 2 r + δ δ s 2 r . h x +   δ δ s h y . 2 s + δ δ s 2 s . h y

Passo 5

Bom, o segundo termo, δ δ s 2 r . h x é bem simples, porque derivando em 2 r em relação a s 0 , pois tratamos r como constante!

Então, a derivada z r s fica:

z r s = h x x . 2 s + h x y . 2 r . 2 r + 0 +   δ δ s h y . 2 s + δ δ s 2 s . h y

Passo 6

Agora derivando h y em relação a s , teremos:

h y s = δ h y δ x   . δ x δ s + δ h y δ y   . δ y δ s

Beleza, sabemos que as derivadas δ x δ s e δ x δ s são 2 s e 2 r , respectivamente. Então,

h y s = h y x   . 2 s + h y y   . 2 r

E a nossa derivada z r s , atualizada, é:

z r s = h x x . 2 s + h x y . 2 r . 2 r +   h y x   . 2 s + h y y   . 2 r . 2 s + δ δ s 2 s . h y

Passo 7

Ufa! Só falta mais um! E esse é fácil!

Derivando 2 s em relação a s , temos 2 ! Então, por fim, nossa derivada da função z em relação a r e s é:

z r s = h x x . 2 s + h x y . 2 r . 2 r +   h y x   . 2 s + h y y   . 2 r . 2 s + 2 . h y

Fazendo as distributivas, teremos:

z r s = h x x . 4 s r + h x y . 4 r 2 + h y x   . 4 s 2 + h y y   . 4 s r + 2 . h y

Como h x y = h y x , podemos colocar alguns termos em evidência:

z r s = 4 s r h x x + h y y + 4 r 2 + s 2 . h x y + 2 h y

Resposta

z r s = 4 s r h x x + h y y + 4 r 2 + s 2 . h x y + 2 h y

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