Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia para Derivadas Parciais de Ordem Superior
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UFF, Cálculo IIB, Listas GMA, Lista 6, exercício 16
Sejam , de classe em
Suponha que
Calcule
Passo 1
Let’s go calcular essas derivadas parciais aí usando a regra da cadeia.
Começando pela derivada parcial em relação a :
Assim, pela regra da cadeia e regra do produto,
Mas, como ele disse que é de classe , então . Assim
Passo 2
Agora vamos para a derivada parcial em relação a .
Pela regra da cadeia, temos
Agora, usando a regra da cadeia e do produto:
Mas, já sabemos que . Então
Passo 3
Ok, agora já temos nossas derivadas parciais de segunda ordem. Vamos substituir:
Agrupando os termos semelhantes:
Assim
Colocando em evidencia:
Do enunciado, temos que
Então
Resposta
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