Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia para Derivadas Parciais de Ordem Superior

UFF, Cálculo 2B, Listas, Lista 6, questão 16

Sejam z = z x , y , z de classe C 2 em R 2 , x = e u cos v e y = e u sen v .

Suponha que

2 z x 2 + 2 z y 2 = 0

Calcule

2 z u 2 + 2 z v 2

Passo 1

Não se assuste com a cara desse maluco, vamos primeiro achar a primeira derivada em relação a u e depois a primeira derivada em relação a v . Antes de mais nada devemos fazer o gradiente de z

z = z x , z y

Agora vamos achar esse gradiente para u e v

z = z x e u cos v , e u sen v , z y e u cos v , e u sen v

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Calculando o gradiente de x :

x = e u cos v

x u , v = x u , x v = ( e u cos v , - e u sen v )

Calculando o gradiente de y :

y = e u sen v

y u , v = y u , y v = ( e u sen v , e u cos v )

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia vamos ter

z u = z x x u + z y y u

z u = e u cos v z x e u cos v , e u sen v + e u sen v z y e u cos v , e u sen v

Passo 4

Precisamos agora derivar isso em relação a u para achar a segunda derivada disso em relação a u . Segura que lá vem regra do produto com regra da cadeia:

2 z u 2 = u e u cos v z x e u cos v , e u sen v + e u cos v u z x e u cos v , e u sen v + u e u sen v z y e u cos v , e u sen v + e u sen v u z y e u cos v , e u sen v

2 z u 2 = e u cos v z x e u cos v , e u sen v + e u cos v u z x e u cos v , e u sen v + e u sen v z y e u cos v , e u sen v + e u sen v u z y e u cos v , e u sen v

Temos que achar aquelas derivadas separadas ali, vamos fazer isso por partes no próximo passo

Passo 5

Começando com u z x e u cos v , e u sen v . Isso, nada mais é que z x u .

Aplicando a regra da cadeia,

u z x = z x u = z x x x u + z x y y u

Porque a derivada parcial em relação a x , z x , é uma função de x e y , mas x e y são funções de u e v , certo?

Precisamos do vetor gradiente de z x , que vai ser

z x = 2 z x 2 , 2 z x y = z x x , z x y = z x x , z y x

Aplicando em um ponto qualquer

z x u , v = 2 z x 2 e u cos v , e u sen v , 2 z x y e u cos v , e u sen v

Lembrando que

x u = e u cos v

E

y u = e u sen v

Vamos ter

u z x e u cos v , e u sen v = z x x x u + z x y y u

u z x e u cos v , e u sen v = e u cos v 2 z x 2 e u cos v , e u sen v + e u sen v 2 z x y e u cos v , e u sen v

Passo 6

Indo para u z y e u cos v , e u sen v , que é o mesmo que z y u , aplicando a regra da cadeia

u z y = z y u = z y x x u + z y y y u

Precisamos do vetor gradiente de z y , que vai ser

z y = z y = 2 z x y , 2 z y 2 = z y x , z y y

Aplicando em um ponto qualquer

z y u , v = 2 z x y e u cos v , e u sen v , 2 z y 2 e u cos v , e u sen v

Lembrando que

x u = e u cos v

E

y u = e u sen v

Vamos ter

u z y e u cos v , e u sen v = z y x x u + z y y y u

u z y e u cos v , e u sen v = e u cos v 2 z x y e u cos v , e u sen v + e u sen v 2 z y 2 e u cos v , e u sen v

Passo 7

Vamos agora juntar essa bagunça toda,

2 z u 2 = e u cos v z x e u cos v , e u sen v + e u cos v u z x e u cos v , e u sen v + e u sen v z y e u cos v , e u sen v + e u sen v u z y e u cos v , e u sen v

2 z u 2 = e u cos v z x e u cos v , e u sen v + e u cos v e u cos v 2 z x 2 e u cos v , e u sen v + e u sen v 2 z x y e u cos v , e u sen v + e u sen v z y e u cos v , e u sen v + e u sen v e u cos v 2 z x y e u cos v , e u sen v + e u sen v 2 z y 2 e u cos v , e u sen v

2 z u 2 = e u cos v z x e u cos v , e u sen v + e 2 u cos 2 v 2 z x 2 e u cos v , e u sen v + e 2 u sen v cos v 2 z x y e u cos v , e u sen v + e u sen v z y e u cos v , e u sen v + e 2 u cos v sen v 2 z x y e u cos v , e u sen v + e 2 u sen 2 v 2 z y 2 e u cos v , e u sen v

Passo 8

Ufa, parece que acabou né? Só que não

Temos que fazer a segunda derivada em relação a v agora, mas o raciocínio é todo igual a esse que usamos. Lembrando que o gradiente vai ser

z = z x e u cos v , e u sen v , z y e u cos v , e u sen v

E

x v = , - e u sen v

y v = e u cos v

Que calculamos lá nos passos 1 e 2.

Passo 9

Aplicando a regra da cadeia vamos ter

z v = z x x v + z y y v

z v = - e u sen v z x e u cos v , e u sen v + e u cos v z y e u cos v , e u sen v

Passo 10

Precisamos agora derivar isso em relação a v para achar a segunda derivada disso em relação a v , então vamos ter, pela regra do produto e regra da cadeia:

2 z v 2 = v - e u sen v z x e u cos v , e u sen v - e u sen v v z x e u cos v , e u sen v + v e u cos v z y e u cos v , e u sen v + e u cos v v z y e u cos v , e u sen v

2 z v 2 = - e u cos v z x e u cos v , e u sen v + e u sen v v z x e u cos v , e u sen v - e u sen v z y e u cos v , e u sen v + e u cos v v z y e u cos v , e u sen v

Temos que achar aquelas derivadas deparadas ali, vamos fazer isso por partes no próximo passo

Passo 11

Começando com v z x e u cos v , e u sen v , que nada mais é que z x v . Aplicando a regra da cadeia

v z x = z x v = z x x x v + z x y y v

Precisamos do vetor gradiente de z x , que vai ser

z x = z x = 2 z x 2 , 2 z x y = z x x , z y x

Aplicando em um ponto qualquer

z x u , v = 2 z x 2 e u cos v , e u sen v , 2 z x y e u cos v , e u sen v

Lembrando que

x v = , - e u sen v

y v = e u cos v

Vamos ter

u z y e u cos v , e u sen v = z x x x v + z x y y v

u z y e u cos v , e u sen v = - e u sen v 2 z x 2 e u cos v , e u sen v + e u cos v 2 z x y e u cos v , e u sen v

Passo 12

Indo para v z y e u cos v , e u sen v , que nada mais é que z y v . Aplicando a regra da cadeia

v z y = z y v = z y x x v + z y y y v

Precisamos do vetor gradiente de z y , que vai ser

z y = z y = 2 z x y , 2 z y 2 = z y x , z y y

Aplicando em um ponto qualquer

z y u , v = 2 z x y e u cos v , e u sen v , 2 z y 2 e u cos v , e u sen v

Lembrando que

x v = , - e u sen v

y v = e u cos v

Vamos ter

v z y e u cos v , e u sen v = z y x x v + z y y y v

u z y e u cos v , e u sen v = - e u sen v 2 z x y e u cos v , e u sen v + e u cos v 2 z y 2 e u cos v , e u sen v

Passo 13

Vamos agora juntar essa bagunça toda,

2 z v 2 = - e u cos v z x e u cos v , e u sen v - e u sen v v z x e u cos v , e u sen v - e u sen v z y e u cos v , e u sen v + e u cos v v z y e u cos v , e u sen v

2 z v 2 = - e u cos v z x e u cos v , e u sen v - e u sen v - e u sen v 2 z x 2 e u cos v , e u sen v + e u cos v 2 z x y e u cos v , e u sen v - e u sen v z y e u cos v , e u sen v + e u cos v - e u sen v 2 z x y e u cos v , e u sen v + e u cos v 2 z y 2 e u cos v , e u sen v

2 z v 2 = - e u cos v z x e u cos v , e u sen v + e 2 u sen 2 v 2 z x 2 e u cos v , e u sen v - e 2 u cos v sen v 2 z x y e u cos v , e u sen v - e u sen v z y e u cos v , e u sen v - e 2 u sen v cos v 2 z x y e u cos v , e u sen v + e 2 u cos 2 v 2 z y 2 e u cos v , e u sen v

Passo 14

Ai ai, conta monstruosamente gigantesca, acertar uma parada dessa deveria valer uns 8 pontos numa prova, mas tudo bem, o que importa aqui é saber aplicar as derivadas e usar a regra da cadeia mil vezes, essa é uma questão que se você acompanhou tudo até o fim, não desistiu virou outra pessoa, meus parabéns por chegar até aqui eta questãozinha muito louca.

Vamos agora somar esses dois monstros que achamos

2 z u 2 + 2 z v 2 = e u cos v z x e u cos v , e u sen v + e 2 u cos 2 v 2 z x 2 e u cos v , e u sen v + e 2 u sen v cos v 2 z x y e u cos v , e u sen v + e u sen v z y e u cos v , e u sen v + e 2 u cos v sen v 2 z x y e u cos v , e u sen v + e 2 u sen 2 v 2 z y 2 e u cos v , e u sen v + - e u cos v z x e u cos v , e u sen v + e 2 u sen 2 v 2 z x 2 e u cos v , e u sen v 0 - e 2 u cos v sen v 2 z x y e u cos v , e u sen v - e u sen v z y e u cos v , e u sen v - e 2 u sen v cos v 2 z x y e u cos v , e u sen v + e 2 u cos 2 v 2 z y 2 e u cos v , e u sen v

Temos muita coisa parecida com sinal diferente aí, vamos diminuir e sumir com essa parada toda.

2 z u 2 + 2 z v 2 = e 2 u cos 2 v 2 z x 2 e u cos v , e u sen v + e 2 u sen 2 v 2 z y 2 e u cos v , e u sen v + e 2 u sen 2 v 2 z x 2 e u cos v , e u sen v + e 2 u cos 2 v 2 z y 2 e u cos v , e u sen v

Tirando o parênteses

2 z u 2 + 2 z v 2 = e 2 u cos 2 v 2 z x 2 e u cos v , e u sen v + e 2 u sen 2 v 2 z y 2 e u cos v , e u sen v + e 2 u sen 2 v 2 z x 2 e u cos v , e u sen v + e 2 u cos 2 v 2 z y 2 e u cos v , e u sen v

Dando uma arrumada vamos ter

2 z u 2 + 2 z v 2 = e 2 u 2 z x 2 e u cos v , e u sen v cos 2 v + sen 2 v + e 2 u 2 z y 2 e u cos v , e u sen v cos 2 v + sen 2 v

2 z u 2 + 2 z v 2 = e 2 u 2 z x 2 e u cos v , e u sen v + e 2 u 2 z y 2 e u cos v , e u sen v

2 z u 2 + 2 z v 2 = e 2 u 2 z x 2 e u cos v , e u sen v + 2 z y 2 e u cos v , e u sen v

Como ele disse que aquilo dentro do parêntese é 0 vamos ter

2 z u 2 + 2 z v 2 = e 2 u 0 = 0

Nesse momento deveríamos comemorar, mas se você é como eu deve estar com aquele pequeno ódio interno querendo matar alguém porque conta para cacete para dar 0 , mas ok

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