Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia para Derivadas Parciais de Ordem Superior

UFF, Cálculo IIB, Listas GMA - Lista 6, Questão 16

Sejam z = z x , y , z de classe C 2 em R 2 ,

x = e u cos v

y = e u sen v

Suponha que

2 z x 2 + 2 z y 2 = 0

Calcule

2 z u 2 + 2 z v 2

Passo 1

Let’s go calcular essas derivadas parciais aí usando a regra da cadeia.

Começando pela derivada parcial em relação a u :

z u = z x . x u + z y . y u

z u = z x . ( e u cos v ) + z y . e u sen v

Assim, pela regra da cadeia e regra do produto,

2 z u 2 = e u cos v . z x + e u cos v . 2 z x 2 . x u + 2 z y x . y u + e u sen v . z y + e u sen v . 2 z y 2 . y u + 2 z x y . x u

2 z u 2 = e u cos v . z x + e u cos v . 2 z x 2 . ( e u cos v ) + 2 z y x . e u sen v + e u sen v . z y + e u sen v . 2 z x y . e u cos v + 2 z y 2 . e u sen v

2 z u 2 = e u cos v . z x + e u ² cos ² v . 2 z x 2 + e u ² cos v sen v 2 z y x + e u sen v . z y + e u ² sen ² v 2 z y 2 + ( e u 2 sen v cos v ) 2 z x y

Mas, como ele disse que z é de classe C 2 , então 2 z x y = 2 z y x . Assim

2 z u 2 = e u cos v . z x + e u ² cos ² v . 2 z x 2 + 2 e u ² cos v sen v 2 z y x + e u sen v . z y + e u ² sen ² v 2 z y 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos para a derivada parcial em relação a v .

Pela regra da cadeia, temos

z v = z x . x v + z y . y v

z v = z x . ( - e u sen v ) + z y . ( e u cos v )

Agora, usando a regra da cadeia e do produto:

2 z v 2 = - e u cos v . z x + - e u sen v . 2 z x 2 . x v + 2 z y x . y v + - e u sen v . z y + e u cos v . 2 z y 2 . y v + 2 z x y . x v

2 z v 2 = - e u cos v . z x + - e u sen v . 2 z x 2 . ( - e u sen v ) + 2 z y x . ( e u cos v ) + - e u sen v . z y + e u cos v . 2 z y 2 . ( e u cos v ) + 2 z x y . ( - e u sen v )

2 z v 2 = - e u cos v . z x + e u 2 sen 2 v 2 z x 2 - e u 2 sen v cos v 2 z y x - e u sen v . z y + e u 2 cos 2 v 2 z y 2 - ( e u cos v sen v ) 2 z x y

Mas, já sabemos que 2 z x y = 2 z y x . Então

2 z v 2 = - e u cos v . z x + e u 2 sen 2 v 2 z x 2 - 2 e u 2 sen v cos v 2 z y x - e u sen v . z y + e u 2 cos 2 v 2 z y 2

Passo 3

Ok, agora já temos nossas derivadas parciais de segunda ordem. Vamos substituir:

2 z u 2 + 2 z v 2

e u cos v . z x + e u ² cos ² v . 2 z x 2 + 2 e u ² cos v sen v 2 z y x + e u sen v . z y + e u ² sen ² v 2 z y 2 + - e u cos v . z x + e u 2 sen 2 v 2 z x 2 - 2 e u 2 sen v cos v 2 z y x - e u sen v . z y + e u 2 cos 2 v 2 z y 2

Agrupando os termos semelhantes:

z x e u cos v - e u cos v + z y e u sen v - e u sen v + 2 z y x 2 e u 2 cos v sen v - 2 e u 2 sen v cos v + 2 z x 2 e u 2 cos 2 v + e u 2 sen 2 v + 2 z y 2 ( e u 2 sen 2 v + e u 2 cos 2 v )

Assim

2 z u 2 + 2 z v 2 =   2 z x 2 e u 2 cos 2 v + e u 2 sen 2 v + 2 z y 2 ( e u 2 sen 2 v + e u 2 cos 2 v )

Colocando em evidencia:

2 z u 2 + 2 z v 2 = e u 2 cos 2 v + e u 2 sen 2 v 2 z x 2 + 2 z y 2

Do enunciado, temos que

2 z x 2 + 2 z y 2 = 0

Então

2 z u 2 + 2 z v 2 = 0

Resposta

2 z u 2 + 2 z v 2 = 0

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