Exercícios Resolvidos de Regressão Linear

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Dois especialistas X e Y estimaram o tempo em horas a ser gasto no desenvolvimento de 11 projetos:

(a) Fazer um gráfico ramo-folha (ramo = parte inteira e folha = parte decimal) para X .

(b) Calcule os três quartis para as duas variáveis X e Y . Construa um box-plot dos dados para cada especialista. Os dois box-plots devem aparecer juntos na mesma figura, utilize a mesma escala de forma que os gráficos fiquem comparáveis. Comente os gráficos

(c) Construa um diagrama de dispersão.

(d) Se, num conjunto de n pontos no plano, existir um deles que está muito destoante do comportamento geral, qual será o efeito sobre o coeficiente de correlação de se excluir este ponto?

Passo 1

a)

Pro ramo-folha, vamos listar todos os números das partes inteiras numa coluna, e ao lado de cada um vamos colocar as casas decimais respectivas a eles:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b)

Vamos calcular as posições dos quartis:

P o s Q 1 = 3 + 11 4 = 3,5

P o s Q 2 = 11 + 1 2 = 6

P o s Q 3 = 3 × 11 + 1 4 = 8,5

Agora vamos ver quem ocupa essas posições. Primeiramente para X .

Os valores de X em ordem crescente (não pode esquecer de botar assim!) são:

4,4   4,8   5,4   5,6   5,7   5,9   6,1   6,1   6,7   6,7   8,5

A posição 3,5 é exatamente entre o 3 º e 4 º elemento, então podemos fazer uma média aritmética entre eles pra descobrir quem é Q 1 :

Q 1 = 5,4 + 5,6 2 = 5,5

A posição 6 nos dá a mediana:

Q 2 = 5,9

A posição 8,5 é exatamente entre o 8 º e 9 º elemento, então podemos fazer uma média aritmética entre eles pra descobrir quem é Q 3 :

Q 3 = 6,1 + 6,7 2 = 6,4

O D I Q vai ser:

D I Q = Q 3 - Q 1 = 6,4 - 5,5 = 0,9

E as cercas:

C I = Q 1 - 3 2 D I Q = 5,5 - 1,5 × 0,9 = 4,15

C S = Q 3 + 3 2 D I Q = 6,4 + 1,5 × 0,9 = 7,75

Então o menor valor não discrepante vai ser:

4,4

E o maior não discrepante:

6,7

E vamos ter um valor discrepante! O 8,5 que é maior que nossa cerca superior.

Passo 3

Agora para Y . Os valores em ordem crescente são:

4,6   6,2   6,5   6,5   6,6   7,0   7,4   7,6   7,8   7,8   7,9

A posição 3,5 é exatamente entre o 3 º e 4 º elemento, mas aqui eles dois valem 6,5 , então sabemos que a média também vai valer isso. Então:

Q 1 = 6,5

A posição 6 nos dá a mediana:

Q 2 = 7,0

A posição 8,5 é exatamente entre o 8 º e 9 º elemento, então podemos fazer uma média aritmética entre eles pra descobrir quem é Q 3 :

Q 3 = 7,6 + 7,8 2 = 7,7

O D I Q vai ser:

D I Q = Q 3 - Q 1 = 7 , 7 - 6,5 = 1,2

E as cercas:

C I = Q 1 - 3 2 D I Q = 6,5 - 1,5 × 1,2 = 4,7

C S = Q 3 + 3 2 D I Q = 7,7 + 1,5 × 1,2 = 9,5

Então o menor valor não discrepante vai ser:

6,2

E o maior não discrepante:

7,9

E vamos ter um valor discrepante! O 4,6 que é menor que nossa cerca inferior.

Passo 4

Com as informações que temos, já podemos montar os dois Box-Plots pedidos:

Podemos notar que as duas variáveis possuem valores discrepantes, o X para mais e o Y para menos. Os valores não discrepantes de Y são praticamente simétricos, enquanto os não discrepantes de X possuem maior assimetria.

Passo 5

c)

Para o diagrama de dispersão, primeiro vamos olhar pra tabela dada:

Com esses dados, podemos desenhar dois eixos, x e y , representar os valores de X e Y neles e cruzar os dados respectivos ao mesmo projeto. Ficamos dois eixos coordenados e vários pontinhos representando o cruzamento de dados.

Daí observamos o comportamento desses pontinhos. Concorda comigo que eles tão meio que crescentes e tem um carinha lá embaixo meio isolado (quando X = 4,8 e Y = 4,6 )?

Vamos traçar uma reta crescente que seja uma aproximação da regressão desses pontos então, e também podemos identificar o pontinho isolado, que acaba fugindo muito da reta, como um ponto discrepante P 4 . Ficaríamos com isso aqui:

Nós até poderíamos calcular a expressão certinha dessa reta lááá pelo método da regressão linear, mas como aqui só foi pedido o diagrama de dispersão, não precisamos de valores exatos na representação, mas sim uma boa identificação da tendência do nosso gráfico.

Passo 6

d)

Concorda comigo que um ponto destoante é como se fosse um peso morto que fica querendo desequilibrar os outros dados que tão juntinhos de boas? Então, se a gente retirar o diferentão, o comportamento dos outros dados juntinhos vai ser mais respeitado, porque tiramos o peso morto!

E como agora todos eles vão estar próximos sem ninguém tentando puxá-los pra outro canto, vai ser mais fácil pra gente aproximar esses caras a uma reta.

Mas lembra que quando temos um coeficiente de correlação igual a - 1 ou 1 é quando temos uma relação linear perfeita entre os dados (decrescente e crescente)? Então, quanto mais próximo um coeficiente de correlação for de ∓ 1 , mais próximo o gráfico é de uma reta.

Podemos dizer então que, retirando um ponto destoante do gráfico, vai sempre ser mais simples linearizar os outros pontos, ou seja, sempre vamos aumentar o valor do coeficiente de correlação em módulo.

Resposta

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