Exercícios Resolvidos de Relatividade do Tempo

Um feixe de luz monocromático se propaga ao longo do eixo y de um referencial inercial A com velocidade - c y ^ . Um referencial inercial B se move com velocidade + 4 c 5 x ^ , em relação ao referencial A . O vetor velocidade do feixe de luz para o referencial B é dado por:

a) - 4 c 5 x ^ - 3 c 5 y ^ .

b) + 4 c 5 x ^ - 3 c 5 y ^ .

c) - 3 c 5 x ^ - 4 c 5 y ^ .

d) + 3 c 5 x ^ - 4 c 5 y ^ .

e) - c y ^ .

Passo 1

Nesse exercício temos que relembrar das transformações de Lorentz para velocidades em x e em y:

v x ' = v x - u 1 - u v x c 2                                           v y ' = v y γ 1 - u v x c 2    

Vamos entender cada termo dessas equações no nosso problema:

v x ' é a velocidade do feixe na componente x com relação ao referencial B .

v y ' é a velocidade do feixe na componente y com relação ao referencial B .

v x é a velocidade do feixe na componente x com relação ao referencial A . Neste referencial a velocidade do feixe só possui componente y . Logo: v x = 0 .

v y é a velocidade do feixe na componente y com relação ao referencial A . Logo: v y = - c .

u é a velocidade do referencial B com relação ao referencial A (essa velocidade só possui componente em x . Logo: u = 4 c 5 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Dito isso, agora basta colocar todas as informações nas equações:

v x ' = v x - u 1 - u v x c 2  

v x ' = 0 - 4 c 5 1 - 4 c 5 × 0 c 2   = - 4 c 5 1 - 0

v x ' = - 4 c 5

Passo 3

Agora para v y ' :

v y ' = v y γ 1 - u v x c 2  

v y ' = v y 1 1 - u 2 c 2 1 - u v x c 2  

v y ' = - c 1 1 - 4 c 5 2 c 2 1 - 4 c 5 × 0 c 2   = - c 1 1 - 16 c 2 25 c 2 1 - 0   = - c × 1 - 16 25

v y ' = - 3 c 5

Logo, o vetor velocidade do feixe de luz é dado por:    v ' → =   - 4 c 5 x ^ - 3 c 5 y ^

Passo 4

Aqui vai uma parte extra!

Se aplicarmos o teorema de Pitágoras para determinar o módulo do vetor v ' → , acharemos o seguinte:

  v ' → = v x ' 2 + v y ' 2

v ' → = - 4 c 5 2 + - 3 c 5 2 = 16 c 2 25 + 9 c 2 25

v ' → = c

E isso vai perfeitamente ao encontro de um dos postulados mais importantes da Relatividade Especial: “A luz tem velocidade de c em qualquer referencial.”

Resposta

Letra (a): - 4 c 5 x ^ - 3 c 5 y ^

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