Exercícios Resolvidos de Transformada de Lorentz para a Velocidade

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Enunciado

Uma esquadrilha de espaçonaves com 1,00 anos-luz de comprimento (no seu referencial de repouso) está se movendo com velocidade 0,80c em relação a uma base espacial. Uma nave mensageira viaja da retaguarda da esquadrilha com velocidade 0,95c em relação à base espacial.

(a ) Calcule quanto tempo leva a viagem da nave mensageira em seu próprio referencial.

(b ) Obtenha o intervalo de tempo gasto pela nave mensageira no referencial da esquadrilha.

(c ) Determine quanto tempo leva a viagem da nave mensageira em relação à base espacial.

Passo 1

No primeiro item desejamos determinar o tempo decorrido para a nave mensageira, para isso devemos lembrar do seguinte, o tempo para nave mensageira pode ser determinada da seguinte forma.

∆ t m = L m u ' e s q - m

Em que cada termo significa

∆ t m = t e m p o   p a s s a d o   n a   n a v e   m e n s a g e i r a   n o   s e u   r e f e r e n c i a l

L m = d i s t â n c i a   p e r c o r r i d a   p e l a   n a v e   m e n s a g e i r a   n o   s e u   r e f e r e c i a l

u ' e s q - m = v e l o c i d a d e   r e l a t i v a   e n t r e   a   e s q u a d r i l h a   e   a   n a v e   m e n s a g e i r a  

Mas aqui temos que tomar o seguinte cuidado, tanto a velocidade da nave quanto a velocidade da esquadrilha estão relacionadas a base, mas aqui queremos saber a velocidade RELATIVA entre a nave mensageira e a esquadrilha medida no referencial da nave mensageira, e é esse valor que usaremos na nossa fórmula, de forma simples, imagine que temos dois carros indo na mesma direção, uma a 100km/h e outro a 80km/h, sabemos que nesse caso a velocidade relativa entre eles é de 20km/h, como aqui estamos tratando de velocidades muito grandes precisamos de outra relação, ou seja, devemos usar a transformação de Lorentz para determinar a velocidade relativa delas, para isso, usaremos a fórmula

U ' = U - v 1 - v . U c 2

Passo 2

Substituindo teremos que

u ' e s q - m = u e s q - b - v m 1 - v m . u e s q - b c 2

Em que

u e s q - b = v e l o c i d a d e   d a   e s q u a d r i l h a   e m   r e l a ç ã o   a   b a s e

v m = v e l o c i d a d e   d o   r e f e r e n c i a l   d a   n a v e   m e n s a g e i r a  

Sabemos que cada um desses valores vale

u e s q - b = 0,8 c

v m = 0,95 c  

Substituindo teremos

u ' e s q - m = 0,8 c - 0,95 c 1 - 0,95 c . 0,8 c c 2 = - 0,625 c

Definimos assim o valor da velocidade relativa entre a nave e a esquadrilha no referencial da nave mensageira, vamos agora determinar a distancia percorrida pela nave mensageira.

Agora que temos a velocidade relativa entre os referenciais, sabemos que, as distâncias medidas em relatividade sofrem o que chamamos de contração do espaço, certo? Então vamos olhar para a fórmula da contração do espaço que é dada por

D = D 0 γ

Lembrando que D 0 é comprimento próprio, ou seja, o maior comprimento medido, e este é medido pela pessoa que está em repouso em relação a medida, por exemplo, se eu tenho um vagão em movimento e fizer a medida dentro do vagão, a medida está em repouso em relação a pessoa que está dentro do vagão, logo esse é o comprimento próprio, porém para quem está fora do vagão essa medida está em movimento, logo, para ela, a medida sofrerá uma contração.

Nesse caso a medida que nos é dada foi feito no referencial de repouso da esquadrilha, ou seja, a esquadrilha é a pessoa dentro do vagão, então a medida feita por ela é a maior possível, o que significa que no referencial da nave mensageira, essa medida será menor. Se no nosso exemplo a esquadrilha está dentro do vagão, então qual é a velocidade do vagão?

É exatamente a velocidade relativa entre a nave mensageira e esquadrilha, oque calculamos exatamente no item anterior.

Então teremos o seguinte.

L m = L e s q - b . 1 - u ' e s q - m c 2

Em que

L e s q - b = 1   a n o   l u z = 1 . c

u ' e s q - m = - 0,625 c

Substituindo teremos

L m = 1   a n o .   C . 1 - - 0,625 c c 2 = 0,7806 . c

Já com todos os valores em mãos precisamos apenas substituir na nossa primeira fórmula

∆ t m = L m u ' e s q - m

∆ t m = 0,7806 . c - 0,625 . c ≅ 1,25   a n o s

Passo 3

Nesse item (b) devemos tomar o seguinte cuidado, agora queremos determinar o tempo decorrido para nave mensageira, porém visto do referencial da esquadrilha, escrevendo a nossa fórmula teremos o seguinte.

∆ t e s q = L e s q - b u ' m - e s q

Mas preste atenção, sabemos pelo enunciado que L e s q - b = 1   a n o   l u z , que é exatamente o comprimento próprio, que como vimos é o maior comprimento medido. Mas oque significa o u ' m - e s q ?

É exatamente a velocidade relativa entre o referencial da esquadrilha e da nave mensageira, porém nesse caso, sendo vista pelo referencial da esquadrilha, se você prestar bem atenção já calculamos esse valor, que é dado por

u ' e s q - m = - 0,625 c

Esse é o valor da velocidade relativa entre os referenciais analisado pelo referencial da nave mensageira, para a esquadrilha a velocidade relativa será a mesma, além do mais, no nosso exemplo do carro dito anteriormente, a velocidade relativa de 20km/h vale para ambos os carros, a única diferença é que um carro verá essa velocidade relativa positiva, e o outro verá ela negativa, ou seja, se para a nave mensageira a velocidade deu negativa, para a esquadrilha ela será

u ' m - e s q = + 0,625 c

Substituindo na nossa equação teremos,

∆ t e s q = L e s q - b u ' m - e s q

∆ t e s q = 1 . c 0,625 c = 1,6   a n o s  

Passo 4

Por fim, nesse terceiro item nos é pedido para medir o tempo que passou para a nave mensageira na perspectiva na base espacial.

Ou seja, sabemos que podemos escrever essa fórmula da seguinte maneira

∆ t b = L b - e s q v m - v e s q

Em que

∆ t b = t e m p o   d e c o r r i d o   p a r a   a b a s e   e s p a c i a l  

L b - e s q = c o m p r i m e n t o   m e d i d o   p e l a   b a s e   e s p a c i a l  

v m - v e s q = v e l o c i d a d e   r e l a t i v a   e n t r e   a s   n a v e s   n a   p e r s p e c t i v a   d a   b a s e  

Temos quase todos os valores, mas tome o seguinte cuidado, lembra que o tamanho de 1ano luz foi medido no referencial da ESQUADRILHA? Ou seja, a esquadrilha já mediu o valor do comprimento próprio, ou seja, a esquadrilha é a única que possui o maior tamanho medido, todos os outros referenciais verão tamanhos menores, e se o tamanho é menor, significa que ocorreu contração do espaço, vamos então analisar a fórmula de contração do espaço, que é

D = D 0 γ

Substituindo pelos nosso valores teremos

L b - e s q = L e s q - b . 1 - v e s q c 2

Em que

L e s q - b = 1   a n o   l u z = 1 . c

v e s q = 0,8 c

Substituindo os nosso valores teremos

L b - e s q = 1 . c . 1 - 0,8 c c 2

L b - e s q = 0,6 c

Passo 5

Olhando novamente a nossa fórmula

∆ t b = L b - e s q v m - v e s q

Sabemos que

L b - e s q = 0,6 c

v m = 0,95 c

v e s q = 0,8 c

Substituindo

∆ t b = 0,6 c 0,95 c - 0,8 c = 4   a n o s  

Resposta

∆ t m = 1,25   a n o s

∆ t e s q = 1,6   a n o s  

∆ t b = 4   a n o s  

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