Exercícios Resolvidos de Transformada de Lorentz para a Velocidade

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Enunciado

Uma nave espacial se afasta da Terra com velocidade c / 2 em relação à Terra. Em t = 0 , a nave lança um míssil, que viaja com velocidade c / 2 em relação à nave, na mesma direção da mesma.

(a) Determine a velocidade do míssil em relação à Terra.

(b) Considerando que a nave espacial viaja em direção a uma localidade situada a uma distância D segundo observadores na Terra, determine o tempo necessário para que a nave atinja a localidade segundo seu comandante.

Passo 1

Vamos começar colocando nossos referenciais nesse problema.

Vamos chamar de S’ um referencial móvel fixo na nave, e que, portanto, se desloca com velocidade u = c / 2 (a mesma da nave).

E vamos chamar de S um referencial em repouso na Terra.

Temos ainda que a velocidade do míssil em relação à nave é v x ' = c / 2 e a velocidade da nave em relação à Terra é u = c / 2 .

Beleza, agora podemos resolver esse problema usando as transformações de Lorentz!

Passo 2

(a) Como queremos passar do referencial S’ em movimento para o referencial S em repouso, vamos usar a transformação:

v x = v x ' + u 1 + u v x ' / c 2

Substituindo com os dados que arrumamos no Passo 1:

v x = c 2 + c 2 1 + c 2 × c 2 c 2  

v x = 4 c 5

Passo 3

(b) Agora queremos passar do referencial S em repouso para o referencial S’ em movimento, então vamos usar que:

t ' = γ t - u x c 2

Segundo um observador na Terra, o tempo que a nave leva pra atingir o destino é:

t = D u = 2 D c

Calculando:

γ = 1 1 - v 2 c 2

γ = 1 1 - 1 4

γ = 2 3

Então:

t ' = 2 3 2 D c - c 2 D c 2

t ' = 2 3 2 D c - D 2 c

t ' = 2 3 3 D 2 c

t ' = D 3 c

Resposta

(a) v x = 4 c 5

(b) t ' = D 3 c

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