Exercícios Resolvidos de Transformada de Lorentz para a Velocidade

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Enunciado

Em algum momento no futuro da Terra…

Descobre-se que um asteroide, a 120 milhões de quilômetros de distância, tem sua trajetória em rota de colisão com a Terra. A velocidade do asteroide é não-relativística e para todos os efeitos práticos pode ser desprezada. A agência espacial americana manda, em t =0, uma nave não tripulada em direção ao asteroide, com velocidade 0,4 c (medida na Terra). Considere o sistema de referência da nave ( S ’ ) tendo x ’ = x = 0 e   t ’ = t = 0 (origem de posição e tempo coincidentes para a Terra e a nave), sendo x a direção definida entre a Terra e o asteroide.

No mesmo momento em que a nave é lançada, a agência espacial brasileira manda um míssil em direção ao asteroide. O míssil explode no asteroide 8min20s após o lançamento, de acordo a relógios na Terra.

(b) Qual é a velocidade do míssil, medida pela nave? Em que instante de tempo, de acordo ao computador de bordo da nave, o míssil explode no asteroide?

Passo 1

Sabemos que nesse caso teremos que usar o conceito de velocidade relativística, sabemos que para velocidade relativística a fórmula é dada pela transformação de Lorentz

u ' = u - v 1 - u . v c 2

E sabemos que

u = v e l o c i d a d e   d o   m i s s i l   c o m   r e l a ç ã o   a   T e r r a

u ' = v e l o c i d a d e   d o   m i s s i l   c o m   r e l a ç a o   a   n a v e  

v = v e l o c i d a d e   d a   n a v e

Passo 2

Agora que já sabemos qual é a fórmula e qual os devidos referenciais, basta determinarmos os seus devidos valores para podermos substituir.

Sabemos que a velocidade da nave é dada por

v = 0,4 c

Sabemos também que

c = 3   .   10 8 m

O único problema é determinar a velocidade do míssil com relação a Terra.

No enunciado é dito que ao mesmo tempo que a nave foi lançada, também foi lançado o míssil, e que após um certo tempo, o míssil atingiu o asteroide, ou seja, o míssil percorreu toda a distância entre a Terra e o asteroide, e já sabemos quanto vale essa distância, ela é da no enunciado

d = 120.000.000.000 m = 1,2   .   10 11 m

Como o míssil levou exatamente 8 minutos e 20 segundos, convertendo as unidades teremos que o tempo total foi de

t = 8   .   60 + 20 = 500   s e g u n d o s  

Logo ficou fácil determinar a velocidade do míssil com relação a Terra

u = d t = 1,2   .   10 11 500 = 240.000.000 m s  

Agora que já temos todos os valores, basta que substituamos na nossa fórmula principal. Dessa forma teremos que

u ' = u - v 1 - u . v c 2

Substituindo

u ' = 240.000.000 - ( 0,4   .   3   .   10 8 ) 1 - 240.000.000 . 0,4   .   3   .   10 8 ( 3.10 8 ) 2 = 176.470.588,2 = 0,59 c

Logo a velocidade do míssil medido pela nave, foi de exatamente

u ' = 0,59 c

Passo 3

Agora temos a segunda parte da questão, em que o nosso objetivo é determinar qual foi o tempo medido pela nave até que o míssil colidisse com o asteroide. Sabemos que se queremos o tempo medido pela nave, precisamos de alguma fórmula que use o tempo no referencial da nave, ou seja, S’. Sabemos que existe a transformação de Lorentz para tempo, que relaciona exatamente o tempo medido pela nave para o míssil com o tempo medido pela Terra para o míssil, e sabemos que a fórmula é dada por

t ' = γ   t - v c 2 x

sabemos que o tempo que passou foi de

t = 8 min ⁡ 20 s e g = 8   .   60 + 20 = 500   s e g u n d o s  

Sabemos que a velocidade da nave é dada por

v = 0,4 c

E sabemos que a distância medida entre a Terra e o cometa é dada por

x = 1,2   .   10 11 m

Assim teremos que

t ' = γ   t - v c 2 x

t ' = γ   500 - 0,4 c c 2 1,2   .   10 11

Temos que

t ' = γ   500 - 0,4 c 1,2   .   10 11

t ' = γ   500 - 0,4 3   .   10 8 1,2   .   10 11

Assim teremos que

t ' = γ   500 - 160 = 340 γ

O fator de Lorentz é dado por

γ = 1 1 - v c 2

Substituindo teremos que

γ = 1 1 - 0,4 c c 2

γ = 1,091

Assim teremos que

t ' = 340   .   1,091 = 371 s

Resposta

O instante de tempo em que o míssil atinge o asteroide medido pela nave foi de 371 segundos

t ' = 371 s

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