Exercícios Resolvidos de Transformada de Lorentz para a Velocidade

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Enunciado

Em uma corrida intergaláctica, o foguete A é colocado na posição x = + L e o fogute B em x = + 3 L para um dado referencial R . O objetivo da corrida é chegar na posição x = + 2 L primeiro. A largada é dada no instante t = 0 para o referencial inercial R e os foguetes saem nesse instante com velocidades v → a = + 3 c / 5   x ^ e v → b = - 4 c / 5   x ^ , respectivamente.

Em função dos dados do enunciado, calcule o que se pede.

a) Determine os instantes de tempo para os quais os foguetes A e B cruzam a linha de chegada para o referencial R ;

b) Determine a velocidade do foguete A em relação a uma referencial inercial ligado ao foguete B.

c) Determine os instantes de largada e chegada de cada foguete em relação a um referencial inercial ligado ao foguete B.

Passo 1

Fala pessoal, prontos para resolver a questão da corrida intergaláctica? Esse é um probleminha bem típico de relatividade restrita! Bora resolver!

No item (a) vamos olhar tudo como se estivéssemos no referencial R . Isso significa que não vamos precisar converter nada para algum outro referencial, o que vai deixar esse item bem simples!

É fácil perceber que cada um dos foguetes deve percorrer uma distância L , já que o foguete A sai de x = + L e quer chegar em x = + 2 L , e o foguete B sai de x = + 3 L e quer chegar na mesma posição que A.

Como as distâncias e velocidades dadas são todas no referencial R , basta usar que

v = Δ x Δ t → Δ t = Δ x v

Para o foguete A:

t A = L v a = L 3 c 5 → t A = 5 L 3 c

Já para o foguete B:

t B = L 4 c 5 → t B = 5 L 4 c

É fácil perceber que t B < t A , de modo que no referencial R o foguete B ganha a corrida!

Passo 2

No item (b) queremos saber a velocidade do foguete A no referencial do foguete B! No referencial R , temos que

v a = 3 c 5

Para achar a velocidade do foguete A em outro referencial, usamos a relação de composição de velocidades da relatividade especial:

v a ' = v a - u 1 - v a u c 2

Nessa equação, v a é a velocidade do foguete A no referencial R , v a ' é a velocidade do foguete A no referencial R ' e u é a velocidade do referencial R ' com relação ao referencial R . Nesse problema, o referencial R ' é o referencial ligado ao foguete B, de modo que sua velocidade com relação ao referencial R é

u = v b = - 4 c 5

Aí é só substituir na expressão:

v a ' = 3 c 5 - - 4 c 5 1 - 1 c 2 ⋅ 3 c 5 - 4 c 5 = 7 c 5 1 + 12 25

Logo,

v a ' = 7 c 5 ⋅ 25 37 = 35 c 37

Portanto, a velocidade do foguete A para um observador dentro do foguete B é

v a ' = 35 c 37

Passo 3

Para terminar, vamos para o item (c)! Queremos achar os instantes de largada e chegada de cada foguete para um observador no foguete B (referencial R ' ). Para isso, vamos usar a transformação de Lorentz:

t ' = γ t - u x c 2

Os instantes de tempo no referencial R ' (referencial do foguete B) depende dos instantes de tempo t e da posição x no referencial R ! Vale lembrar que

γ = 1 1 - u c 2

Nesse caso, u = - 4 c / 5 que é a velocidade do referencial R ' (foguete B) com relação ao referencial R . Logo,

γ = 1 1 - 4 5 2 = 5 3

Portanto,

t ' = 5 3 t - x c 2 ⋅ - 4 c 5 = 5 3 t + 4 x 5 c

Essa é a relação que vamos usar para resolver o problema!

Passo 4

Vamos olhar primeiro para a largada!

O foguete A parte da posição x A l a r g a d a = + L com t A l a r g a d a = 0 , de modo que

t A ' l a r g a d a = 5 3 0 + 4 5 c ⋅ L = 4 L 3 c

Para o foguete B, temos que x B l a r g a d a = + 3 L e t B l a r g a d a = 0 . Logo,

t B ' l a r g a d a = 5 3 0 + 4 5 c ⋅ 3 L = 4 L c

Observe que para o referencial R ' , o foguete A partiu primeiro! Eu sei que isso parece bem bizarro, mas é relatividade né...

Para a chegada, temos que x A c h e g a d a = x B c h e g a d a = 2 L para os dois foguetes (isso no referencial R ' ). Para o foguete A, achamos no item (a) que t A c h e g a d a = 5 L / 3 c , de modo que

t A ' c h e g a d a = 5 3 5 L 3 c + 4 5 c ⋅ 2 L = 49 L 9 c

Para o foguete B, achamos no item (a) que t B c h e g a d a = 5 L / 4 c . Logo,

t B ' c h e g a d a = 5 3 5 L 4 c + 4 5 c ⋅ 2 L = 57 L 12 c

Podemos verificar que t B ' c h e g a d a < t A ' c h e g a d a , o que significa que nesse referencial, apesar de sair depois, o foguete B chega primeira na linha de chegada! Isso mostra que nossas contas foram consistentes, pois se tem uma coisa que a relatividade restrita não pode brincar é a causalidade: se em um referencial inercial o foguete B venceu, ele tem que vencer em todos os referenciais inerciais!

Resposta

t A = 5 L 3 c ,         t B = 5 L 4 c       →     o   f o g u e t e   B   g a n h a   a   c o r r i d a   n o   r e f e r e n c i a l   R

v a ' = 35 c 37

t A ' l a r g a d a = 4 L 3 c             e             t B ' l a r g a d a = 4 L c

t A ' c h e g a d a = 49 L 9 c             e           t B ' c h e g a d a = 57 L 12 c

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