Exercícios Resolvidos de Transformada de Lorentz para a Velocidade

Young e Freedman, Física IV Ótica e Física Moderna, 12ª ed, São Paulo: Addison Wesley, 2009, cap 37.

Uma espaçonave da Armada Imperial se desloca com velocidade elevada em relação ao planeta Arrakis e dispara um foguete na direção do planeta com uma velocidade de 0,920 c em relação à espaçonave.

Um observador na superfície da Arrakis verifica que o foguete está se aproximando com velocidade de 0,360 c .

Qual é a velocidade da espaçonave em relação ao planeta Arrakis?

A espaçonave está se aproximando ou se afastando de Arrakis?

Passo 1

Vamos começar identificando os nossos referenciais em repouso S e em movimento S ' .

Nesse caso, o nosso referencial em repouso S é o planeta Arrakis, e o nosso referencial em movimento S ' é a espaçonave que dispara o foguete.

Assim, o problema já nos diz o valor da velocidade do foguete em relação à espaçonave v x ' , medida no referencial em movimento S ' , e a velocidade medida no referencial em repouso S , nesse caso, v x .

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Passo 2

Trata-se de um problema de Transformações de Lorentz para a velocidade.

Como queremos determinar a velocidade entre a espaçonave e o planeta Arrakis, queremos calcular u . Para isto, podemos usar a seguinte equação.

v x = v x ' + u 1 + u   v x ' / c 2

Nesse caso, vamos supor que tanto a espaçonave quanto o foguete estão se deslocando no mesmo sentido. Assim, adotaremos o mesmo sinal para ambas as velocidades (positivo).

Se no final das contas o valor que acharmos para u for positivo, significa que a nossa hipótese está correta. Se o valor de u for negativo, significa que, a espaçonave está, na verdade, se afastando do planeta, ok?

Passo 3

v x = v x ' + u 1 + u   v x ' / c 2

Onde:

v x = 0,360 c ;

v x ' = 0,920 c ;

Logo:

0,360 c = 0,920 c + u 1 + u   0,920 c c 2

0,360 c   1 + 0,920 u c = 0,920 c + u

0,360 c + 0,3312 u = 0,920 c + u

u - 0,3312 u = 0,360 c - 920 c

0,6688 u = - 0,560 c

u = - 0,837 c

Reforçando o que dissemos anteriormente quando fizemos a nossa hipótese, como achamos um valor negativo para u , significa que, na verdade, a nave está se afastando do planeta Arrakis.

Resposta

- 0,837 c ;

A espaçonave está se afastado de Arrakis;

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