Exercícios Resolvidos de Representação de Números

Adaptado da lista “Cálculo Numérico (ST462B/ST468B) Lista de exercícios 1 - Representação numérica e Erros” da Unicamp

Considere uma máquina cujo sistema de representação de número é definido por: 𝛽 = 10, 𝑘 = 4,𝑒 ∈ [−5,5]. Pede-se:

(a) Qual o menor e o maior número em módulo representados nesta máquina?

(b) Como será representado o número 73,758 nesta máquina, se for usado o arredondamento? E se for usado o truncamento?

Passo 1

(a) Qual o menor e o maior número em módulo representados nesta máquina?

Opaa, chega mais ! Vamos começar com esse exercício que parece moleza mas é cheio de detalhes. Tem um palpite de como se começa??

Veja bem, que informações o exercício nos dá? O problema nos fornece a base, o número máximo de algarismos que vamos colocar na mantissa e os valores mínimos e máximos de expoente (no intervalo de -5 até 5).

Então, vamos relembrar aquela estrutura que pode ser montada só com as informações que nós temos:

Sabendo que: 1 ≤ d 1 ≤ β - 1

Nós conhecemos o valor de β = 10

Então, considerando a inequação acima podemos determinar o primeiro valor de d 1

Que pode deve estar entre 1 e 9.

1 ≤ d 1 ≤ 9

Fácil né? Então significa que podemos variar o nosso valor de (0,1....   d k ) até (0,9...   d k ).

O exercício fornece que k= 4, então nossos valores de d serão: d 1 , d 2 ,   d 3   e   d 4 .

Para montar a estrutura do menor valor que a máquina pode registrar, devemos considerar que o primeiro dígito d 1 ≠ 0 (qualquer zero a esquerda acaba sendo reconsiderado e reorganizado e vai parar laaaaaaaaaaaá no expoente) , e como determinamos ali encima ele deve estar entre 1 e 9.

Como o menor valor entre 1 e 9, é o próprio 1 nosso d 1 = 1 assumirá essa forma.

Beleza, o β = 10 e n= [-5,5].

A escolha do menor expoente é bem intuitiva né, qual é o menor valor -5 ou 5?

O menor valor é -5, heheheh

Agora é só montar aquela estrutura show de bola:

Lembra, nós temo as base, expoentes e d 1 . Mano, agora é só completar!!

O menor número, em valor absoluto, representado por essa máquina seria:

0.1000 × 10 - 5 = 10 - 6

Enquanto o maior número seria:

0.9999 × 10 5 = 99990

Moleza né???

Vamos para o próximo passo!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

(b) Como será representado o número 73,758 nesta máquina, se for usado o arredondamento? E se for usado o truncamento?

Ao organizarmos o número 73,758 no formato da aritmética de ponto flutuante, fica mais ou menos assim:

0.73758 × 10 2

Mas, nós temos que deixar com a quantidade correta de números dentro da mantissa que foi sugerida pelo exercício de k= 4.

Vamo simbora!

Só dando uma relembrada como eu faço o arredontamento?

O arredondamento com k dígitos é dado por:

Se d k + 1 ≥ 5 arredondamos para cima.

Se d k + 1 < 5 arredondamos pra baixo!

Legal, foca nesse número 0.73758 , a certeza que temos está em 0,737X , com 3 algarismos significativos e o último duvidoso!

E agora observe bem: 0.737 58 o próximo algarismo em d k + 1 ≥ 5 e então arredondamos para CIMA!

Então, com a técnica de arredondamento fica assim:

0.7376 × 10 2

No truncamento fica como?

No truncamento nós terminamos em d k =   d 4

Observe que temos:

0.73758 × 10 2

Ao para em d 4 para fazer o truncamento, fica assim:

0.7375 × 10 2

Resposta

  1. Mínimo: 0.1000 × 10 - 5 = 10 - 6
  2. Máximo: 0.9999 × 10 5 = 99990

  3. Arredondamento : 0.7376 × 10 2

Truncamento : 0.7375 × 10 2

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