Exercícios Resolvidos de Teorema Espectral

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Enunciado

Assinale a alternativa correta com relação à matriz:

A = 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0 3 6

(a) A não tem inversa, nem é diagonalizável.

(b) A   é inversível e diagonalizável.

(c) A é inversível, mas não é simétrica.

(d) A não tem inversa, mas é diagonalizável.

Passo 1

Para ter inversa, a matriz precisa ter o determinante diferente de 0 o que acontece quando as linhas e colunas formam conjuntos de vetores L I .

1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0 3 6

Mas olhando para a matriz, vamos que as duas últimas colunas são múltiplas uma da outra, o que torna o conjunto das colunas L D . Isso basta para que o determinante seja 0 e a matriz não seja inversível. Resta descobrirmos se ela é ou não diagonalizável!

E vou te contar um segredo muuuuuito legal agora! Ta vendo que essa matriz pode ser quebrada em blocos?

Sendo:

A = 1 1 1 1 0 1 1 1 0 ;   B = 1 3 2 6

Quando isso acontece, se cada um dos blocos for diagonalizável, a matriz cheia também vai ser! Irado né?

A matriz A é simétrica! Então pelo teorema espectral, ela é diagonalizável! Show, vamos ver a B agora!

B = 1 3 2 6

1 - λ 3 2 6 - λ = 0

1 - λ 6 - λ - 6 = 0

λ 2 - 7 λ = 0

λ λ - 7 = 0

λ = 0   o u   7

Como a matriz tem 2 autovalores distintos, ela vai ser diagonalizável!

Então, como A e B são diagonalizáveis,

Resposta

d

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