Exercícios Resolvidos de Teorema Espectral

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Enunciado

Considere as seguintes afirmações:

I Existe uma matriz real M tal que M - 1 0 - 1 1 0 M é diagonal.

I I Sabendo que v → e u → são autovetores de A A T , concluímos que v → u → = 0 .

Qual das opções abaixo é CORRETA?

( a ) A afirmativa I é falsa e I I é verdadeira.

( b ) A afirmativa I é falsa e I I é falsa.

( c ) A afirmativa I é verdadeira e I I é falsa.

( d ) A afirmativa I é verdadeira e I I é verdadeira.

Passo 1

Afirmativa I :

Lembra da nossa forma diagonalizada? É assim oh:

A = M D M - 1

Se a gente multiplicar M - 1 pela direita:

M - 1 A = D M - 1

E agora multiplicar M pela esquerda:

M - 1 A M = D

E foi exatamente isso que ele botou lá, só que o A é a matriz 0 - 1 1 0 . De fato, existe M que resulta na matriz D diagonal se A for diagonalizável. Então temos que verificar isso:

0 - λ - 1 1 0 - λ = - λ 2 + 1 = 0

Com isso temos que λ = ± i . Logo, nossa matriz não é diagonalizável, então essa é falsa.

Passo 2

Afirmativa I I :

Ele está perguntando se u → e v → serem autovetores de A A T torna eles ortogonais. A sacada que você tem que ter aqui é que quando multiplicamos uma matriz por sua transposta temos uma matriz simétrica! Se liga:

A A T T = A T T A T = A A T

A transposta de A A T é A A T , então ela é simétrica! E vimos lá no capítulo de Teorema Espectral, que quando temos uma matriz simétrica existe sempre uma escolha de autovetores que formam uma base ortonormal do seu domínio. Existe uma, mas não necessariamente a usaremos! Então essa alternativa é falsa!

Resposta

Letra ( b )

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