Exercícios Resolvidos de Teorema Espectral

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Enunciado

Decida se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa. Se a afirmação for verdadeira, apresente uma demonstração. Se a afirmação for falsa, exiba explicitamente um contraexemplo.

(b) Se A = 1 k 2 2 3 então A não é ortogonalmente diagonalizável seja qual for k   ∈ R .

Passo 1

b) Essa é falsa pois se k = 2 , a nossa matriz vai ficar:

A = 1 k 2 2 3 = 1 2 2 3

Ou seja, vai ser uma matriz simétrica, e pelo teorema espectral, toda matriz simétrica é diagonalizável!

Resposta

Falsa

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1. Em cada parte, encontre a decomposição espectral da matriz(a) 3 1 1 3 (b) 6 - 2 - 2 3 (c) - 3 1 2 1 - 3 2 2 2 0 (d) - 2 0 - 36 0 - 3 0 - 36 0 - 23
1. Em cada parte, encontre a decomposição espectral da matriz(a) 3 1 1 3 (b) 6 - 2 - 2 3 (c) - 3 1 2 1 - 3 2 2 2 0 (d) - 2 0 - 36 0 - 3 0 - 36 0 - 23
Seja A ∈ L( R 3 ) o operador linear cuja matriz relativa à base canônica é ( a i j ) = 2 2 0 2 - 1 0 0 0 2 a) Achar os valores próprios de A. b) Achar uma matriz ortonormal do R 3 em relação à qual a