Exercícios Resolvidos de Teorema Espectral

Ver Teoria

Enunciado

Considere a matriz

M = 1 - 1 0 - 1 1 0 0 0 4

d) Diagonalize ortogonalmente M , ou seja, encontre P ortogonal e D diagonal tais que M = P D P - 1 .

Passo 1

d)

Nossos autovetores já são ortogonais né? Olha só:

1,1 , 0 , ( - 1,1 , 0 ) = 1,0 , 0 , ( 0,0 , 1 ) = - 1,1 , 0 , ( 0,0 , 1 ) = 0

Mas para a matriz ser ortogonal, ela precisa ter colunas ortogonais e de módulo 1, então vamos dividir nossos autovetores pelo tamanho deles:

( 1,1 , 0 ) ( 1 2 + 1 2 + 0 2 ) = ( 2 , 2 , 0 )

( - 1,1 , 0 ) ( ( - 1 ) 2 + 1 2 + 0 2 ) = ( - 2 , 2 , 0 )

( 0,0 , 1 ) ( 0 2 + 0 2 + 1 ) = ( 0,0 , 1 )

Passo 2

Logo:

P = 2 - 2 0 2 2 0 0 0 1

D = 0 0 0 0 2 0 0 0 4

Como P é ortogonal, a inversa será igual a transposta:

P - 1 = 2 2 0 - 2 2 0 0 0 1

Resposta

d) P = 2 - 2 0 2 2 0 0 0 1   D = 0 0 0 0 2 0 0 0 4 P - 1 = 2 2 0 - 2 2 0 0 0 1

Exercícios de Livros Relacionados

1. Em cada parte, encontre a decomposição espectral da matriz(a) 3 1 1 3 (b) 6 - 2 - 2 3 (c) - 3 1 2 1 - 3 2 2 2 0 (d) - 2 0 - 36 0 - 3 0 - 36 0 - 23
1. Em cada parte, encontre a decomposição espectral da matriz(a) 3 1 1 3 (b) 6 - 2 - 2 3 (c) - 3 1 2 1 - 3 2 2 2 0 (d) - 2 0 - 36 0 - 3 0 - 36 0 - 23
Seja A ∈ L( R 3 ) o operador linear cuja matriz relativa à base canônica é ( a i j ) = 2 2 0 2 - 1 0 0 0 2 a) Achar os valores próprios de A. b) Achar uma matriz ortonormal do R 3 em relação à qual a