Exercícios Resolvidos de Teorema Espectral

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Enunciado

Seja A uma matriz simétrica 4 × 4 com exatamente dois autovalores distintos, um positivo e o outro negativo. Determine se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas.

  1. O determinante de A tem que ser positivo
  2. O traço de A pode ser nulo

a   I é verdadeira e II é falsa

b   I e II são verdadeiras

c   I é falsa e II é verdadeira

d   I e II são falsas

Passo 1

Lembra dos bizus que eu dei? Sabemos que o determinante de uma matriz A é o produto dos seus autovalores. E que o traço de uma matriz A é a soma de seus autovalores.

Beleza, lembrado disso vamos desenvolver as informações do enunciado. A matriz é simétrica então, pelo teorema espectral ela é diagonalizável! Logo, como ela é 4 × 4 temos 4 autovalores. No entanto, o enunciado também fala que temos apenas 2 autovalores distintos, um positivo e um negativo.

Vamos chamar o autovalor positivo de λ + e o negativo de λ - . Nesse caso existem 3 combinações possíveis. Ou temos o autovalor   λ + repetido 3 vezes e o λ - apenas 1 . Ou temos cada um deles aparecendo duas vezes. Ou ainda temos o λ + repetido apenas 1 vez e o λ - 3 vezes.

Vamos pegar esse último caso. Temos então que o determinante de A seria:

det ⁡ A = λ + ⏟ > 0 ∙ λ - 3 ⏟ < 0 ⏞ < 0

Nesse caso vemos que é possível que o determinante seja menor que zero. Então a I é falsa!

Passo 2

Como disse ali em cima nós não sabemos quantas vezes cada autovalor é raiz do polinômio característico. Então se por acaso, estivessem distribuídos em 2 vezes cada um raiz do polinômio característico e fossem um o oposto do outro por exemplo:

λ + = - λ -

Nesse caso teríamos:

t r A = 2 λ + + 2 λ - = 0

Isso não é verdade sempre mas é uma possibilidade então o traço de A pode sim ser nulo. Então a afirmativa é verdadeira.

Resposta

Letra ( c )

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