Exercícios Resolvidos de Teorema Espectral

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Enunciado

A matriz A 3 × 3 possui dois autovalores distintos, λ 1 e λ 2 . Sabe-se que { v 1 , v 2 } é uma base do autoespaço associado a λ 1 e v 3 é uma base do autoespaço associado a λ 2 . Considere as afirmativas:

(I) Se v 1 = 1,0 , - 1 ,   v 2 = ( 1 , - 1,0 ) e v 3 = ( 1,1 , 1 ) , então A é simétrica.

(II) Se v 1 = 1,0 , - 1 ,   v 2 = ( 1 , - 2,1 ) e v 3 = 1,1 , 1 , então A é simétrica.

(a) (I) é falsa e (II) é falsa.

(b) (I) é falsa e (II) é verdadeira.

(c) (I) é verdadeira e (II) é falsa.

(d) (I) é verdadeira e (II) é verdadeira.

Passo 1

Sabemos pelo Teorema Espectral que se uma matriz é simétrica, então ela possui uma base de autovetores ortonormais.

Isso significa que seus autovetores, além de serem ortogonais dois a dois (produto interno igual a zero), também são unitários, ou seja, têm norma 1.

Ou seja, vamos ter que verificar se os autovetores dados formam base ortonormal de R 3 .

Se isso acontecer, a matriz vai ser simétrica.

Passo 2

(I) Temos

v 1 = 1,0 , - 1

v 2 = ( 1 , - 1,0 )

v 3 = 1,1 , 1

E esses três vetores não formam um conjunto ortogonal.

Mas podemos sempre ortogonalizar um conjunto a partir do processo de ortogonalização de Gram Schmidt, certo??

Pra isso, vamos criar uma base ortogonal { u 1 , u 2 , u 3 } onde:

u 1 = v 1 = 1,0 , - 1

u 2 = v 2 - v 2 , u 1 u 1 , u 1 u 1 = 1 , - 1,0 - 1 , - 1,0 , 1,0 , - 1 1,0 , - 1 , 1,0 , - 1 1,0 , - 1 = 1 2 , - 1 , 1 2

u 3 = v 3 - v 3 , u 2 u 2 , u 2 u 2 - v 3 , u 1 u 1 , u 1 u 1 = ( 1,1 , 1 )

Então temos uma base ortogonal:

1,0 , - 1 , 1 2 , - 1 , 1 2 , 1,1 , 1

Pra ela virar ortonormal, basta normalizar cada um dos vetores, ou seja, dividi-los pela norma!

Não vamos fazer a conta aqui, mas sabemos que isso é possível.

Portanto, existe uma base ortonormal de autovetores e A é simétrica.

Passo 3

(II) Nesse caso:

v 1 = 1,0 , - 1

v 2 = ( 1 , - 2,1 )

v 3 = 1,1 , 1

O conjunto formado por { v 1 , v 2 , v 3 } já é ortogonal, então não vamos precisar ortogonalizá-lo como fizemos antes.

Além disso, para que esse conjunto seja ortonormal, basta dividirmos cada vetor pela sua norma.

Como existe uma base ortonormal de autovetores, a matriz A é simétrica.

Resposta

(d) (I) é verdadeira e (II) é verdadeira.

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