Exercícios Resolvidos de Teorema Espectral

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Enunciado

Seja A uma matriz quadrada. Considere as seguintes afirmações:

(i) Se A possui uma base ortogonal de autovetores, então A é simétrica.

(ii) Se A é simétrica, então A possui uma base ortogonal de autovetores.

(a) Ambas as afirmações são verdadeiras.

(b) Ambas as afirmações são falsas.

(c) A afirmação (i) é verdadeira e a afirmação (ii) é falsa.

(d) A afirmação (i) é falsa e a afirmação (ii) é verdadeira.

Passo 1

Lembra o que diz o Teorema Espectral??

Ele nos diz que se temos uma matriz A   n × n simétrica, então A é diagonalizável e existe uma base ortogonal de autovetores.

A recíproca desse teorema também é válida, ou seja: se A tem uma base ortogonal de autovetores, então A é simétrica!

A é simétrica A é diagonalizável com P ortogonal

Agora que lembramos disso a questão ficou fácil, né? Ambas as afirmações são verdadeiras!

Passo 2

Resposta

(a) Ambas as afirmações são verdadeiras.

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