Exercícios Resolvidos de Teorema Espectral

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Enunciado

Seja A uma matriz quadrada. Considere o sistema A x → = λ x → e as afirmativas abaixo:

  1. Se A não é simétrica, então o sistema nunca tem solução não nula, qualquer que seja o valor de λ
  2. Se A é simétrica, então sempre existe um valor de λ para o qual o sistema tem solução não nula

a   I é verdadeira e I I é falsa

b   I é falsa e I I é verdadeira

c   I e I I são falsas

d   I e I I são verdadeiras

Passo 1

Essa questão é pura e totalmente sobre o Teorema Espectral. Vamos por alternativas:

Alternativa I :

O que essa alternativa está falando de uma maneira difícil é que, se a matriz não é simétrica, então ela não tem autovalores ou autovetores!

O Teorema Espectral diz que toda matriz simétrica é diagonalizável e, portanto, possui autovalores e autovetores. Mas ele não diz nada sobre o caso de uma matriz ser não simétrica! Então não podemos afirmar nada, essa é falsa.

Afirmativa I I :

Agora sim, se A é simétrica, ela é diagonalizável. Se ela é diagonalizável ela sempre terá autovalores e autovetores. Ou seja, o sistema do enunciado terá solução não nula. Essa é verdadeira.

Resposta

Letra ( b )

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