Exercícios Resolvidos de Teorema Espectral

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Enunciado

Determine se a transformação associada à matriz

B = 1 0 1 0 1 0 1 0 1

é diagonalizável, e, caso positivo, ache uma base para a qual a matriz associada à transformação é diagonal, e que forma assume esta matriz.

Passo 1

Pelo Teorema Espectral, como a matriz é simétrica, temos que ela é diagonalizável, assim como a transformação associada à ela.

Encontrando os autovalores:

1 - λ 0 1 0 1 - λ 0 1 0 1 - λ = 0

1 - λ 3 - 1 - λ = 0

1 - λ 1 - λ 2 - 1 = 0

1 - λ = 0       o u       1 - λ = ± 1

λ = 1,0   o u   2

Encontrando os autovetores:

λ = 1 :

0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 ⇒ z = 0 x = 0 ⇒ V 1 = 0 , y , 0 = y 0,1 , 0

λ = 0 :

1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 ⇒ x + z = 0 y = 0 x + z = 0 ⇒ V 0 = x , 0 , - x = x 1 , 0 , - 1

λ = 2 :

- 1 0 1 0 - 1 0 1 0 - 1 0 0 0 ⇒ - x + z = 0 y = 0 x - z = 0 ⇒ V 2 = x , 0 , x = x 1,0 , 1

Passo 2

Uma base para a qual a matriz associada à transformação é diagonal é a base de autovetores:

β = 0,1 , 0 , 1,0 , - 1 , 1,0 , 1

E a forma que a matriz assume é a de uma matriz diagonal de autovalores:

1 0 0 0 0 0 0 0 2

Resposta

É diagonalizável.

β = 0,1 , 0 , 1,0 , - 1 , 1,0 , 1

T β β = 1 0 0 0 0 0 0 0 2

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