Exercícios Resolvidos de Teorema Espectral

PUCRIO-P3-2014.2-2d

Para cada k real, considere a transformação T : R 3 R 3 dada por:

T x , y , z = k x + 2 y ,   2 x + k y + 2 z ,   2 y + k z

Existe um valor de k para qual T não seja diagonalizável?

Passo 1

Não, pois como podemos observar a matriz abaixo em função de k :

T ε = k 2 0 2 k 2 0 2 k

A matriz acima é sempre simétrica independente do valor de k e, por isso, de acordo com o teorema espectral, é diagonalizável.

Também sabemos que se uma representação de T em uma base for diagonalizável, todas as outras serão e, portanto, T é diagonalizável.

Logo, não existe nenhum valor para k , tal que, T não seja diagonalizável.

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Resposta

Não existe.

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