Exercícios Resolvidos de Teorema Espectral

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Enunciado

Considere o sistema A x → = b → :

  1. Se A é diagonalizável, então o sistema sempre tem solução, qualquer que seja o vetor b → .
  2. Se A é simétrica, então o sistema sempre tem solução única, qualquer que seja o vetor b → .

a   I é falsa e I I é falsa

( b ) I é verdadeira e I I é falsa

( c ) I é falsa e I I é verdadeira.

( d ) I é verdadeira e I I é verdadeira

Passo 1

Essa parece complicada né? Se liga, não temos nenhuma relação direta entre uma matriz ser ou não simétrica/diagonalizável e o sistema que ela representa ter solução ou não!

Ué, se não temos relação então como resolvemos? Bom, repare que ambas as alternativas usam a palavra ‘sempre’. Ou seja, basta arrumarmos um único exemplo que desbanque essas afirmativas para marcarmos como falsas! E é isso o que vamos fazer!

Passo 2

Uma coisa interessante de se lembrar aqui é da matriz projeção!! O fato é que a matriz projeção é sempre simétrica e portanto, pelo Teorema Espectral, é sempre diagonalizável!

Mas o sistema formado pela matriz projeção nem sempre tem solução! Por exemplo, imagine a projeção em uma reta no R 3 dada por P :

P x → = b →

Concorda que se b → não estiver na reta aonde estamos projetando o sistema não terá solução? Pois P nunca vai gerar um vetor fora dessa reta!

Da mesma forma, sabemos que a matriz projeção possui autovalor 0 ! Isso quer dizer que ela possui um núcleo com dimensão maior que zero. Logo, ela não é injetiva, e não tem solução única!

Ou seja, ambas são falsas!

Resposta

Letra ( a )

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